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Introdução Independente do tempo Perturbação Degenerada Dependente do tempo Regra de Ouro de Fermi Aplicativos Equívocos Perguntas frequentes Fontes Introdução
A maioria dos problemas da mecânica quântica não pode ser resolvida com exatidão. A teoria da perturbação fornece aproximações sistemáticas quando o hamiltoniano pode ser dividido em uma parte solúvel Ĥ₀ e uma pequena perturbação Ĥ': Ĥ = Ĥ₀ + λĤ'. Expandir as soluções em potências de λ fornece correções para energias, funções de onda e probabilidades de transição. A técnica é o carro-chefe da física atômica, da física nuclear, da matéria condensada e da teoria quântica de campos.
Teoria da perturbação independente do tempo
Para um hamiltoniano estacionário Ĥ = Ĥ₀ + λĤ' com autoestados conhecidos |n⁰⟩ de Ĥ₀ com energias En ⁰:
Energia de primeira ordem
En ⁽¹⁾ = ⟨n⁰|Ĥ'|n⁰⟩
Função de onda de primeira ordem
|n⁽¹⁾⟩ = Σm≠n [⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩ / (En ⁰-Em ⁰)] |m⁰⟩
Energia de segunda ordem
En ⁽²⁾ = Σm≠n |⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩|² / (En ⁰-Em ⁰)
A série em λ geralmente converge para λ suficientemente pequeno. Para λ grande, são necessários métodos alternativos [1 ].
Teoria da Perturbação Degenerada
Se |n⁰⟩ for degenerado (múltiplos estados com o mesmo En ⁰), as fórmulas de primeira ordem têm denominadores nulos. A solução: diagonalizar a matriz de perturbação dentro do subespaço degenerado. As correções de primeira ordem para energias são autovalores desta matriz; os autovetores correspondentes são os estados de ordem zero adequados.
Exemplo: Efeito Stark
Um campo elétrico perturba o hidrogênio. Para n = 2 (degeneração 4 vezes), a perturbação aumenta a degeneração linearmente no campo - o efeito Stark linear, característico do hidrogênio. Para estados não degenerados, o efeito principal é quadrático.
Teoria da Perturbação Dependente do Tempo
Para uma perturbação dependente do tempo Ĥ'(t), a probabilidade de encontrar o sistema no estado |m⟩ no tempo t, dado que começou em |n⟩:
Pn→m (t) = |(1/iℏ) ∫₀t ⟨m|Ĥ'(t')|n⟩ exp(iωmn t') dt'|²
onde ωmn = (Em −En )/ℏ. Para uma perturbação harmônica, as transições são mais eficientes na ressonância (frequência de condução = frequência de transição).
Regra de Ouro de Fermi
Para transições de um estado discreto para um continuum de estados com densidade ρ(Ef ), a taxa de transição por unidade de tempo:
Γeu→f = (2π/ℏ) |⟨f|Ĥ'|i⟩|² ρ(Ef )
Chamada de "regra de ouro de Fermi" por Fermi, que a utilizou extensivamente. É o carro-chefe para calcular taxas de decaimento, seções transversais de dispersão, probabilidades de ionização e qualquer processo que envolva transições para um contínuo [2 ].
Aplicativos
Física atômica: Stark, efeitos Zeeman; alargamento de linha; taxas de emissão espontânea.Física nuclear: Taxas de decaimento beta; transições nucleares.Matéria condensada: Espalhamento elétron-fônon; resistividade elétrica de impurezas.Física de partículas: Taxas de decaimento, amplitudes de espalhamento (diagramas de Feynman são expansão de perturbação).Química: Espectros moleculares, taxas de reação. Equívocos comuns
"A teoria da perturbação sempre converge"
Freqüentemente, fornece séries assintóticas que eventualmente divergem. Para QED, a série de perturbações é assintótica, com o resto assintótico limitado para muitos fins práticos.
"Correções de ordem superior sempre melhoram a precisão"
Para séries assintóticas, apenas até uma determinada ordem. Além da ordem ideal, os termos crescem.
“A teoria da perturbação substitui soluções exatas”
Não – fornece soluções aproximadas quando as exatas não estão disponíveis. Onde existem soluções exatas, elas são preferíveis.
"A regra de ouro de Fermi se aplica a qualquer transição"
Aplica-se quando os estados finais formam um continuum e a perturbação é fraca. Não para transições discretas ou condução forte.
Perguntas frequentes
Qual é o pequeno parâmetro?
O que quer que torne a perturbação pequena em comparação com Ĥ₀. Para o efeito Stark, a intensidade do campo elétrico em relação às escalas do campo atômico. Para QED, a constante de estrutura fina α ≈ 1/137.
Quando a teoria da perturbação falha?
Regimes de acoplamento fortes (rede QCD, emparelhamento BCS, etc.) requerem métodos não perturbativos. Ressonâncias e quase degenerescências requerem teoria de perturbação degenerada.
Qual é o link para os diagramas de Feynman?
Os diagramas de Feynman são uma representação pictórica dos termos da teoria das perturbações. Cada diagrama corresponde a um termo na expansão de perturbação da matriz S.
Como a teoria da perturbação está relacionada aos métodos numéricos?
Para pequenas perturbações, a expansão analítica é mais rápida que a numérica. Para grandes perturbações, a diagonalização numérica direta costuma ser mais fácil e precisa.
Fontes
Sakurai, JJ, Napolitano, J. (2017). Mecânica Quântica Moderna , 2ª ed.
Fermi, E. (1950). Física Nuclear . Imprensa da Universidade de Chicago.
Griffiths, DJ (2018). Introdução à Mecânica Quântica , 3ª ed.
Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1977). Mecânica Quântica . Wiley.