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Introdução O Método Pontos de viragem Quantização de estado ligado Tunelamento Equívocos Perguntas frequentes Fontes Introdução
A aproximação de Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB), desenvolvida em 1926 por três físicos trabalhando independentemente, fornece uma solução semiclássica da equação de Schrödinger para potenciais de variação lenta. Ele une a mecânica quântica e a clássica, fornecendo aproximações analíticas para energias de estado ligado, taxas de tunelamento e fases de dispersão. WKB é uma das técnicas mais utilizadas na mecânica quântica.
O Método
Escreva a função de onda como ψ(x) = exp(iS(x)/ℏ) e expanda S em potências de ℏ:
S = S₀ + ℏS₁ + ℏ²S₂ + ...
Substituindo na equação de Schrödinger e mantendo as ordens iniciais dá:
ψ(x) ≈ (1/√p(x)) exp(±(i/ℏ)∫p(x')dx')
onde p(x) = √(2m(E−V(x))) é o momento clássico. Válido quando o potencial varia lentamente em comparação com o comprimento de onda de de Broglie local [1 ].
Validade
A aproximação WKB é boa quando |dλ/dx| ≪ 1, onde λ = 2πℏ/p é o comprimento de onda local de de Broglie. Ele quebra perto dos pontos de inflexão clássicos onde p → 0.
Pontos de viragem
Nos pontos de inflexão clássicos (E = V), p = 0 e a fórmula WKB tem uma singularidade. "Fórmulas de conexão" especiais (funções de Airy) tratam da transição entre a região oscilatória (E > V) e a região de decaimento exponencial (E <V).
A conexão padrão: na região classicamente permitida, ψ ∼ cos(∫p dx/ℏ − π/4). Na região proibida, ψ ∼ exp(−∫|p| dx/ℏ). A mudança de fase −π/4 vem da função assintótica de Airy [2 ].
Quantização de estado ligado
Para um estado ligado com dois pontos de viragem x₁ e x₂, a condição de quantização WKB (Bohr-Sommerfeld) é:
∫x₁ x₂ p(x) dx = (n + 1/2)πℏ
onde n = 0, 1, 2, ... é o número quântico. Isso generaliza a antiga condição de quantização de Bohr com uma correção de 1/2 do índice de Maslov (cada ponto de inflexão contribui com perda de fase π/2).
Exemplos
Oscilador harmônico: WKB fornece o resultado exato En = ℏω(n + 1/2).
Hidrogênio: WKB fornece a fórmula de Rydberg correta (com alguns cuidados com o termo centrífugo do momento angular).
Potenciais anarmônicos: WKB fornece níveis de energia surpreendentemente precisos para números quânticos moderados a altos.
Tunelamento
O coeficiente de transmissão WKB através de uma barreira é:
T ≈ exp[−(2/ℏ)∫x₁ x₂ √(2m(V(x)−E)) dx]
Esta é a fórmula padrão para probabilidade de tunelamento. Usado em:
Decaimento alfa (Gamow 1928).
Fusão em estrelas (pico Gamow).
Microscopia de varredura por tunelamento.
Taxas de ionização de campo em campos elétricos fortes.
Decaimento do vácuo na teoria de campo.
Consulte o artigo dedicado sobre tunelamento quântico para obter detalhes.
Equívocos comuns
"WKB é exato"
É uma aproximação exata apenas no limite ℏ → 0. Para alguns potenciais especiais (oscilador harmônico), o WKB fornece respostas exatas, mas geralmente há correções.
"WKB sempre funciona para qualquer potencial"
Ele falha perto de pontos de inflexão (tratados por funções Airy) e para potenciais muito variados. Potenciais suaves são os melhores.
"WKB é apenas uma aproximação"
É fundamental. A aproximação principal pode ser estendida sistematicamente; a retomada fornece resultados ainda mais precisos. As técnicas WKB generalizam para problemas multidimensionais e teoria de campo.
"WKB fornece mecânica clássica"
Ele une o quântico e o clássico, fornecendo correções quânticas importantes aos resultados clássicos. O limite ℏ → 0 recupera a mecânica clássica; ordens superiores fornecem correções quânticas.
Perguntas frequentes
Quem é “W”, “K”, “B”?
Wentzel, Kramers, Brillouin — três físicos que desenvolveram o método em 1926. Às vezes chamado de "JWKB", incluindo Jeffreys, que desenvolveu métodos semelhantes anteriormente para equações diferenciais.
Quão preciso é o WKB para o oscilador harmônico?
Exato! WKB dá En = ℏω(n + 1/2) — igual à solução exata de Schrödinger. Isto é uma coincidência (ou melhor, reflete a estrutura especial do oscilador).
Qual é o índice de Maslov?
Uma correção topológica para os pontos de viragem de contagem de fase WKB. Cada ponto de inflexão suave contribui com a fase π/2. O 1/2 na fórmula de Bohr-Sommerfeld vem de dois pontos de inflexão que contribuem com o π total.
O WKB pode lidar com problemas multidimensionais?
Sim – o WKB multidimensional possui uma estrutura rica (cáusticos, pontos focais). A "teoria de Maslov-Arnold" generaliza o índice 1D de Maslov.
Fontes
Griffiths, DJ (2018). Introdução à Mecânica Quântica , 3ª ed.
Bender, CM, Orszag, SA (1999). Métodos matemáticos avançados para cientistas e engenheiros . Springer.
Sakurai, JJ, Napolitano, J. (2017). Mecânica Quântica Moderna , 2ª ed.
Kramers, HA (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung." Zeitschrift para Física , 39(10-11), 828–840.