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Introdução A configuração Números Quânticos Níveis de energia Funções de onda Estrutura Fina Divisão hiperfina A Mudança do Cordeiro Equívocos Perguntas frequentes Fontes Introdução
O átomo de hidrogênio – um próton e um elétron – é o banco de testes mais limpo da mecânica quântica. Sua equação de Schrödinger pode ser resolvida com exatidão, produzindo a famosa fórmula de Rydberg para linhas espectrais e um conjunto completo de estados próprios de energia rotulados por números quânticos (n, ℓ, m, ms ). A concordância entre teoria e experiência é extraordinária; refinamentos por meio de estrutura fina, divisão hiperfina, mudança de Lamb e correções QED continuam hoje no nível de partes por trilhão.
Este artigo aborda a solução padrão da mecânica quântica, os números quânticos, as funções de onda e as pequenas correções que transformam a concordância aproximada em concordância de precisão com o experimento.
A configuração
Um elétron de massa m e carga −e se move no potencial de Coulomb V(r) = −e²/(4πε₀r) de um próton. Tratando o próton como infinitamente pesado (uma boa primeira aproximação), a equação de Schrödinger torna-se:
[−(ℏ²/2m)∇² − e²/(4πε₀r)] ψ = Eψ
A simetria esférica permite a separação de variáveis: ψ(r,θ,φ) = R(r)Yℓm (θ,φ), onde Yℓm são harmônicos esféricos. A equação radial tem soluções analíticas em termos de polinômios de Laguerre associados [1 ].
Números Quânticos
Cada estado é caracterizado por quatro números quânticos:
n (principal): 1, 2, 3, ... Determina a energia.ℓ (momento angular orbital): 0, 1, ..., n−1.m (magnético): −ℓ, −ℓ+1, ..., ℓ.ms (rotação): ±½.
Notação
ℓ = 0 é chamado s, ℓ = 1 é p, ℓ = 2 é d, ℓ = 3 é f. Então 1s é n=1, ℓ=0; 2p é n=2, ℓ=1; etc. A degenerescência do nível de energia n (ignorando o spin) é n² (de ℓ = 0 a n−1 com valores de 2ℓ+1 m cada).
Níveis de energia
As energias do estado ligado são:
En = −13,6 eV/n²
ou mais precisamente, En = −me e⁴/(8ε₀²h²n²) = −RH /n², com RH = 13,605693 eV (a energia de Rydberg).
A Fórmula de Rydberg
As transições entre níveis emitem ou absorvem fótons com frequências:
ν = R[1/nf ² − 1/ni ²]
Isso reproduz as séries espectrais de hidrogênio Lyman, Balmer, Paschen, Brackett e Pfund. O primeiro grande sucesso de Schrödinger em 1926 foi derivar esta fórmula de sua equação [2 ].
Energia de Ionização
Remover o elétron do estado fundamental (n = 1) requer 13,6 eV – a energia de ionização do hidrogênio, medida com precisão e combinando a teoria com muitas casas decimais.
Funções de onda
As funções de onda completa são produtos de partes radiais e angulares:
ψnℓm (r, θ, φ) = Rnℓ (r) Sℓm (θ, φ)
Estado fundamental (1s)
ψ100 = (1/√π) (1/a₀)^(3/2) e^(−r/a₀), com a₀ = 4πε₀ℏ²/(me e²) = 5,29 × 10⁻¹¹ m, o raio de Bohr. Esfericamente simétrico; decaimento exponencial do núcleo.
2s e 2p
2s tem um nó radial. 2p tem nós angulares (os três orbitais p apontam ao longo de x, y, z, com lóbulos de sinal oposto).
Maior n
Para n maiores, ℓ, mais nós e estrutura angular mais complexa. As formas orbitais (s esféricas, p haltere, d quatro lóbulos, f oito lóbulos) são padrão em química.
Estrutura Fina
A solução simples de Schrödinger ignora os efeitos relativísticos. Incluí-los fornece a "estrutura fina" - pequenas divisões dos níveis de energia [3 ].
Três correções
Correção de energia cinética relativística: T = p²/2m + p⁴/(8m³c²) + ...
Interação spin-órbita: o spin do elétron se acopla ao seu movimento orbital no campo do próton.
Termo de Darwin: uma correção relativística concentrada na origem.
Todas as três correções são da ordem α² × En , onde α ≈ 1/137 é a constante de estrutura fina. Combinados, eles alteram os níveis de energia em quantidades que eliminam algumas degenerescências e produzem a estrutura multipleta observada.
Momento Angular Total
A estrutura fina mistura estados com o mesmo momento angular total j = ℓ ± ½. Os estados são rotulados por n, ℓ, j (e mj ). O nível 2p se divide em 2p½ e 2p3/2 .
Divisão hiperfina
O próton tem seu próprio spin e momento magnético. A interação entre o momento magnético do elétron e o momento magnético do próton divide ainda mais os níveis - a estrutura hiperfina [4 ].
A Linha dos 21 cm
O estado fundamental do hidrogênio se divide em dois pela interação hiperfina. A diferença de energia corresponde a uma transição em 1420 MHz, ou comprimento de onda de 21 cm. Esta é a famosa “linha de 21 cm” usada na radioastronomia para mapear o hidrogênio atômico em toda a Via Láctea e além.
Escala de divisão hiperfina
As correções hiperfinas são da ordem (me /mp ) α² × En , menor que a estrutura fina pela razão de massa elétron-próton (~10⁻³). Para o estado fundamental do hidrogênio, a divisão é de ~6 × 10⁻⁶ eV.
A Mudança do Cordeiro
Em 1947, Willis Lamb mediu uma pequena diferença de energia entre os 2s½ e 2p½ estados de hidrogênio que a equação de Dirac previu serem degenerados [5 ]. A divisão (~1057 MHz) é o Mudança de cordeiro .
A mudança vem da eletrodinâmica quântica – especificamente, da interação do elétron com as flutuações do vácuo do campo eletromagnético. Bethe (1947) forneceu um cálculo não relativístico [6 ]; O QED moderno calcula a mudança para peças com precisão de 10⁹.
A mudança de Lamb foi um grande triunfo da eletrodinâmica quântica. Lamb ganhou o Prêmio Nobel de 1955 pela medição; Bethe, Tomonaga, Schwinger e Feynman compartilharam vários prêmios pelo referencial teórico.
Equívocos comuns
"A equação de Schrödinger fornece toda a física do hidrogênio"
Dá a estrutura bruta. Estrutura fina, hiperfina e deslocamento de Lamb requerem QED relativística.
"Os elétrons orbitam em círculos ao redor do núcleo"
O antigo modelo de Bohr. A imagem quântica tem elétrons em orbitais – distribuições de probabilidade, não caminhos clássicos.
"Os níveis de energia são determinados apenas por n"
Para a equação não relativística de Schrödinger, sim. Com correções relativísticas, a energia depende de n e j (e ligeiramente de ℓ por meio de correções QED).
"A linha de 21 cm é uma oscilação do átomo com comprimento de onda de 21 cm"
É o comprimento de onda do fóton emitido na transição hiperfina. O átomo em si é muito menor (~angstrom).
Perguntas frequentes
Por que a fórmula de Rydberg é tão precisa?
Porque o potencial de Coulomb fornece um problema exatamente solucionável em QM não relativística. Pequenas correções da relatividade, efeitos de vácuo e efeito de massa reduzida são calculáveis e minúsculas.
Qual é o tamanho de um átomo de hidrogênio?
O raio de Bohr a₀ = 5,29 × 10⁻¹¹ m é a escala característica. O orbital 1s tem ⟨r⟩ = 1,5 a₀. Os estados mais elevados são maiores; o enésimo estado tem ⟨r⟩ ~ n²a₀.
Como o espectro do hidrogênio é medido hoje?
Com pentes de frequência, a espectroscopia de precisão atinge partes por 10¹⁵ na transição 1s-2s. O espectro do hidrogênio é o espectro atômico medido com mais precisão.
Qual é o quebra-cabeça do raio do próton?
As medições de hidrogênio muônico forneceram um raio de próton ligeiramente diferente das medições eletrônicas. A discrepância agora está sendo resolvida com uma teoria melhor e experimentos adicionais [7 ].
Existem estados ligados com ℓ negativo?
Não — ℓ ≥ 0 é exigido pela geometria. O número quântico principal n = ℓ + 1 + nr , onde nr ≥ 0 é o número quântico radial.
Fontes
Griffiths, DJ (2018). Introdução à Mecânica Quântica , 3ª ed.
Schrodinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem." Annalen der Physik .
Bethe, HA, Salpeter, EE (1957). Mecânica Quântica de Átomos de Um e Dois Elétrons . Springer.
Bethe, HA, Salpeter, EE (1957). Op. cit.
Lamb, WE, Retherford, RC (1947). "Estrutura fina do átomo de hidrogênio por método de microondas." Revisão Física , 72(3), 241.
Bethe, HA (1947). "A mudança eletromagnética dos níveis de energia." Revisão Física , 72(4), 339.
Antognini, A., et al. (2013). "Estrutura do próton a partir da medição das frequências de transição 2S-2P do hidrogênio muônico." Ciência , 339(6118), 417–420.