Introdução
O oscilador harmônico quântico é o sistema modelo mais importante na mecânica quântica. Ele descreve uma partícula em um potencial quadrático V(x) = 1/2momega ^ 2x ^ 2, e aparece em quase todos os lugares - em vibrações moleculares, fônons de rede, modos de fótons, acoplamento luz-matéria, decaimento beta, computação quântica de armadilha de íons e aproximações para quase todos os potenciais suaves próximos ao seu mínimo. Suas soluções são analíticas, elegantes e revelam muito da beleza estrutural da mecânica quântica.
Este artigo aborda a configuração, os níveis de energia, os operadores de escada, as funções de onda, as aplicações mais importantes e os equívocos que acompanham um modelo tão utilizado.
A configuração
Uma partícula de massa m em potencial quadrático, com frequência clássica omega, tem hamiltoniano:
H = p^2/(2m) + 1/2 m ômega^2 x^2
A equação de Schrödinger H psi = E psi torna-se uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, solucionável analiticamente. As funções de onda permitidas são confinadas pelo potencial quadrático, o que leva a níveis de energia discretos [1].
Níveis de energia
O espectro é a famosa escada igualmente espaçada:
En = hbar ômega (n + 1/2), n = 0, 1, 2, ...
O estado mais baixo não é de energia zero. Mesmo em n = 0, o oscilador tem energia de ponto zero hbar omega / 2. Isto vem do princípio da incerteza: a partícula não pode ter dispersão de posição exatamente zero e dispersão de momento exatamente zero.
Degenerescência
Em uma dimensão, cada nível é não degenerado. Em duas dimensões, o n-ésimo nível é degenerado (n+1) vezes; em três dimensões, é degenerado 1/2(n+1)(n+2) vezes. A simetria esférica do oscilador 3D fornece um espectro rico.
Operadores de escada
A solução mais elegante utiliza operadores de criação e aniquilação:
a = sqrt(m omega / 2 hbar) (x + i p / (m omega))
a† = sqrt(m omega / 2 hbar) (x - i p / (m omega))
Estes satisfazem [a, a†] = 1. O hamiltoniano torna-se:
H = hbar omega (a†a + 1/2) = hbar omega (N + 1/2)
onde N = a†a é o operador numérico com autovalores n.
Elevação e descida
a†|n> = sqrt(n+1)|n+1> cria um quantum de excitação.
a|n> = sqrt(n)|n-1> destrói um quantum. a|0> = 0, então o estado fundamental não pode ser reduzido ainda mais.
Todo o espectro é construído a partir do estado fundamental pela aplicação repetida de a†. A álgebra é a base para a segunda quantização, usada na teoria quântica de campos para descrever a criação e aniquilação de partículas [2].
Funções de onda
As funções de onda de representação de posição são:
psi_n(x) = (m omega / pi hbar)^(1/4) [1 / sqrt(2^n n!)] H_n(sqrt(m omega / hbar) x) exp(-m omega x^2 / 2 hbar)
onde Hn são polinômios de Hermite.
Propriedades
- ψ_0: Gaussiano puro, sem nós.
- ψn: n nós (zeros) na região classicamente permitida.
- As funções de onda estendem-se ligeiramente para regiões classicamente proibidas (caudas de tunelamento).
- Para n grandes, as funções de onda oscilam rapidamente entre os pontos de inflexão, correspondendo à distribuição de posição clássica.
Estados Coerentes
Estados coerentes |alpha> são autoestados de a: a|alpha> = alpha|alpha>. Eles saturam a relação de incerteza e são os estados quânticos “mais clássicos”. Seus pacotes de ondas oscilam sinusoidalmente sem se espalharem, exatamente como um oscilador clássico. Glauber os apresentou como a descrição padrão da luz laser [3].
Estados Espremidos
Os estados comprimidos redistribuem a incerteza: uma variável (posição ou momento) é comprimida abaixo do mínimo do estado coerente, ao custo de ampliar a outra. Usado no LIGO para superar o limite quântico padrão na detecção de ondas gravitacionais.
Aplicações
Vibrações Moleculares
As vibrações das ligações moleculares são aproximadamente harmônicas. A espectroscopia infravermelha lê as transições vibracionais, que ficam na faixa de 10-4000 cm^-1. A identificação de moléculas por seus espectros vibracionais é a base da espectroscopia IR.
Fônons em Sólidos
As vibrações da rede cristalina são quantizadas como fônons - excitações do oscilador harmônico dos modos da rede. Os fônons transportam calor em sólidos, medeiam o acoplamento elétron-fônon para supercondutividade e dominam a termodinâmica de baixa temperatura.
Fótons
O campo eletromagnético pode ser decomposto em modos de oscilador harmônico. Cada modo possui um operador numérico contando fótons. A eletrodinâmica quântica baseia-se nesta estrutura de oscilador harmônico.
Cavidade QED
Um átomo em uma cavidade óptica se acopla a um modo de campo único – um oscilador harmônico. O modelo Jaynes-Cummings que descreve isso é um sistema fundamental em óptica quântica [4].
Computação Quântica Ion Trap
Os íons presos ficam em potenciais aproximadamente harmônicos. A informação quântica é armazenada em estados internos; o movimento iônico é um oscilador harmônico que medeia portas de dois qubits.
Teoria Quântica de Campos
Cada campo no QFT, no limite livre (sem interação), se decompõe em osciladores harmônicos. As partículas são quanta desses osciladores. A matemática do oscilador harmônico é a base de toda a teoria quântica de campos.
Oscilador 3D
Em três dimensões com potencial V = 1/2momega^2(x^2 + y^2 + z^2):
En = hbarômega(n + 3/2)
onde n = nx + ny + nz. O estado fundamental tem energia de ponto zero (3/2)hbaromega. A degenerescência cresce quadraticamente com n.
O oscilador isotrópico 3D também possui soluções em coordenadas esféricas, com números quânticos (n, l, m). A estrutura esfericamente simétrica permite estados próprios de momento angular. Muitos modelos de física nuclear usam o oscilador 3D como ponto de partida para cálculos de modelos de casca.
Equívocos comuns
“A energia do ponto zero é inofensiva”
É real e observável (efeito Casimir, mudança de cordeiro, birrefringência a vácuo). O que não é, apesar das afirmações populares, pode ser extraído como energia gratuita.
“O oscilador harmônico é apenas um modelo de brinquedo”
Sistemas aproximadamente harmônicos estão por toda parte na física. Fônons, fótons, vibrações moleculares – todos são osciladores harmônicos. O modelo tem importância prática central.
"Níveis de energia igualmente espaçados significam harmônicos"
Níveis igualmente espaçados são um forte indicador. Os sistemas reais frequentemente se desviam (anarmonicidade); diagnosticar isso a partir de espectros é uma técnica padrão.
"O oscilador quântico não se comporta como um oscilador clássico"
Em estados coerentes, ele se comporta notavelmente como um oscilador clássico – os pacotes de ondas oscilam senoidalmente na frequência ômega. As características não clássicas aparecem em estados numéricos, estados comprimidos e superposições de estados Fock.
"Você pode resolver isso sem o método do operador ladder"
Sim, os métodos diretos de EDO funcionam. O método do operador ladder é mais elegante e generaliza naturalmente para QFT. Ambas as abordagens fornecem a mesma física.
Perguntas frequentes
Qual é o maior n em um oscilador real?
Limitado pela anarmonicidade e dissociação. As ligações moleculares reais quebram acima de ~10-30 quanta vibracionais. Os fônons cristalinos podem ter uma ocupação muito grande em altas temperaturas.
Como o oscilador harmônico está relacionado ao átomo de hidrogênio?
Ambos possuem soluções analíticas exatas em 3D. Eles compartilham o uso da separação de variáveis em coordenadas esféricas e o aparecimento de estruturas polinomiais especiais (Hermite para oscilador, Laguerre para hidrogênio).
O oscilador pode estar em um estado arbitrário?
Sim - qualquer superposição normalizada de estados próprios de energia é um estado válido. Estados numéricos, estados coerentes, estados comprimidos e superposições arbitrárias são todos fisicamente realizáveis.
Qual é a população térmica dos níveis do oscilador harmônico?
Na temperatura T, a probabilidade de estar no nível n é proporcional a exp(-n hbar omega / k_B T). Em T alto, a equipartição clássica é recuperada: <E> approx k_B T. Em T baixo, o sistema permanece no estado fundamental.
Como o oscilador está relacionado ao circuito LC?
A carga em um capacitor e a corrente em um indutor obedecem a equações simples de movimento harmônico. O circuito LC quântico é um oscilador harmônico – e é a base dos qubits supercondutores no circuito QED.
Fontes
- Griffiths, DJ (2018). Introdução à Mecânica Quântica, 3ª ed.
- Sakurai, JJ, Napolitano, J. (2017). Mecânica Quântica Moderna, 2ª ed.
- Glauber, RJ (1963). "Estados coerentes e incoerentes do campo de radiação." Revisão Física, 131(6), 2766-2788.
- Paredes, DF, Milburn, GJ (2008). Óptica Quântica, 2ª ed. Springer.
- Ashcroft, NW, Mermin, ND (1976). Física do Estado Sólido. (Para fônons.)
- Peskin, ME, Schroeder, DV (1995). Uma introdução à teoria quântica de campos. (Para osciladores de teoria de campo.)