Índice
Introdução Descoberta e História Estrutura Matemática Matrizes e espinores de Pauli Medição e Emaranhamento Spin na Física Atômica Teorema de Spin e Estatística Aplicações do mundo real Equívocos Perguntas frequentes Fontes e leituras adicionais Introdução
No vasto e muitas vezes contra-intuitivo reino da mecânica quântica, poucos conceitos são tão fundamentais – e tão frequentemente mal compreendidos – como rotação quântica . A física clássica nos fornece uma compreensão muito intuitiva do momento angular: um pião girando, a Terra girando em seu eixo ou um patinador artístico puxando os braços para girar mais rápido. Este momento angular clássico, denotado por \( \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \), requer um objeto físico estendido movendo-se através do espaço.
O spin quântico, no entanto, desafia inteiramente esta intuição clássica. É um intrínseco forma de momento angular transportado por partículas elementares, partículas compostas (hádrons) e núcleos atômicos. O spin não é consequência da rotação espacial; em vez disso, é uma propriedade quântica profundamente enraizada, muito parecida com a massa ou a carga elétrica. Embora um elétron seja tratado matematicamente como uma partícula pontual sem extensão espacial física, ele possui esse momento angular intrínseco. É exactamente esta propriedade que dá origem aos momentos magnéticos fundamentais das partículas, ditando a estrutura da matéria e o comportamento do universo tanto à escala microscópica como macroscópica.
Neste artigo abrangente, iremos nos aprofundar nas profundezas do spin quântico. Exploraremos sua descoberta histórica, a rigorosa estrutura matemática da simetria SU(2) que a descreve, os meandros das matrizes de Pauli e as formas revolucionárias pelas quais o spin governa a física atômica, o emaranhamento quântico e as aplicações tecnológicas modernas como ressonância magnética e computação quântica.
Descoberta e História
A constatação de que as partículas possuem momento angular intrínseco não aconteceu da noite para o dia. Foi o resultado de uma viagem de mudança de paradigma através da física do início do século XX, unindo o eletromagnetismo clássico e a nascente teoria quântica.
A Experiência Stern-Gerlach (1922)
A história invariavelmente começa com o experimento pioneiro conduzido por Otto Stern e Walther Gerlach em 1922. Eles dispararam um feixe de átomos de prata eletricamente neutros através de um campo magnético não homogêneo. De acordo com a física clássica, os momentos dipolares magnéticos dos átomos de prata deveriam ser orientados aleatoriamente, levando a uma mancha contínua do feixe na tela do detector. No entanto, Stern e Gerlach observaram algo surpreendente: o feixe se dividiu em exatamente dois traços distintos .
Este fenómeno, conhecido como quantização espacial, indicou que o momento magnético do átomo de prata – e por extensão, o seu momento angular – só poderia assumir valores quantizados discretos. Na época, isso foi parcialmente atribuído ao momento angular orbital do elétron mais externo. Só mais tarde é que os físicos perceberam a verdadeira origem desta divisão entre dois estados.
A hipótese de Goudsmit-Uhlenbeck (1925)
Em 1925, Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck, dois jovens físicos holandeses, propuseram uma ideia radical: o próprio elétron possui um momento angular intrínseco (spin) de \( \hbar/2 \) e um momento magnético correspondente de um magneton de Bohr (\( \mu_B \)). Eles levantaram a hipótese de explicar o efeito Zeeman anômalo (a divisão de linhas espectrais em um campo magnético que a teoria clássica não conseguia explicar) e a estrutura fina dos espectros de hidrogênio.
A sua proposta encontrou resistência imediata. O grande Wolfgang Pauli objetou veementemente. Ele calculou que se o electrão fosse uma esfera giratória clássica, a sua superfície teria de se mover mais rapidamente do que a velocidade da luz para gerar o momento angular necessário – uma violação directa da relatividade especial. Apesar desses paradoxos clássicos, a hipótese do spin correspondia perfeitamente aos dados empíricos.
Precessão de Thomas (1926)
Uma peça crítica do quebra-cabeça foi fornecida por Llewellyn Thomas em 1926. Ele demonstrou que um efeito cinemático relativístico, agora conhecido como precessão de Thomas, introduziu um fator de \(1/2 \) nos cálculos de acoplamento spin-órbita. Este fator resolveu perfeitamente uma discrepância de fator dois entre as previsões teóricas de Goudsmit e Uhlenbeck e os dados espectroscópicos experimentais, justificando a hipótese do spin.
Equação Relativística de Dirac (1928)
O triunfo teórico final para o spin quântico veio em 1928, quando Paul Dirac formulou a equação de Dirac. Buscando uma equação da mecânica quântica que fosse compatível com a relatividade especial, Dirac descobriu uma equação que exigia inerentemente que o elétron fosse descrito por um espinor de quatro componentes. Notavelmente, o spin não foi incluído na equação de Dirac como uma suposição ad hoc; surgiu naturalmente como uma consequência fundamental da fusão da relatividade especial com a mecânica quântica. O trabalho de Dirac provou definitivamente que o spin é um fenômeno quântico profundamente relativístico.
Estrutura Matemática
Para compreender verdadeiramente o spin quântico, é preciso abandonar a imagem física de uma esfera rotativa e abraçar a linguagem matemática da álgebra linear, da teoria dos grupos e das álgebras de Lie. O spin é matematicamente formalizado através da teoria dos operadores de momento angular.
Relações de comutação e álgebras de Lie
Na mecânica quântica, o spin é representado por um operador vetorial \( \vec{S} = (S_x, S_y, S_z) \). Esses componentes não são variáveis clássicas; são operadores hermitianos que atuam em um espaço de Hilbert complexo. Eles obedecem às relações fundamentais de comutação do momento angular, que definem a álgebra de Lie \(\mathfrak{su}(2)\):
\[ [S_i, S_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} S_k \]
onde \( \epsilon_{ijk} \) é o tensor antissimétrico de Levi-Civita. Essa não comutatividade é o cerne matemático da incerteza quântica. Porque \( [S_x, S_y] \neq 0 \), você não pode saber simultaneamente os valores exatos do spin de uma partícula ao longo dos eixos x e y.
O Operador Casimir e os Autoestados
Construímos o operador de magnitude de spin total, \( S^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 \). Notavelmente, \( S^2 \) comuta com cada componente individual:
\[ [S^2, S_i] = 0 \quad \text{for } i \in \{x, y, z\} \]
Como eles comutam, \( S^2 \) e um componente escolhido (geralmente \( S_z \)) podem compartilhar um conjunto de autoestados simultâneos, denotados por kets \( |s, m_s\rangle \). Ao definir operadores de subida e descida (escada) \( S_\pm = S_x \pm iS_y \), pode-se derivar algebricamente os autovalores permitidos:
Autovalores de \( S^2 \): \( \hbar^2 s(s+1) \), onde o número quântico de spin \( s \) pode ser um número inteiro não negativo ou meio inteiro: \( 0, 1/2, 1, 3/2, 2, \dots \) Autovalores de \( S_z \): \( \hbar m_s \), onde o número quântico magnético \( m_s \) varia de \( -s \) a \( +s \) em passos inteiros. Existem exatamente \( 2s + 1 \) estados possíveis para um determinado spin \( s \).
Esta derivação algébrica prova que o spin deve ser quantizado em meio inteiro ou múltiplos inteiros de \( \hbar \). Ao contrário do momento angular orbital (\( \ell \)), que é restrito a números inteiros devido às condições de contorno espacial (as funções de onda devem ter valor único no espaço), o spin intrínseco não tem tal restrição espacial, permitindo a existência de spins meio inteiros.
Matrizes e espinores de Pauli
Para as partículas fundamentais mais onipresentes – elétrons, prótons, nêutrons e quarks – o spin é \( s = 1/2 \). Isso significa que \( m_s \) pode ser \( +1/2 \) ("spin up", \( |\uparrow\rangle \)) ou \( -1/2 \) ("spin down", \( |\downarrow\rangle \)). O espaço de estados é um espaço vetorial complexo bidimensional (\(\mathbb{C}^2\)).
As Matrizes de Pauli
Nesta base, os operadores de spin são proporcionais às famosas matrizes de Pauli \( \sigma_i \):
\[ S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma_i \]
As matrizes de Pauli são explicitamente definidas como:
\( \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)
Essas matrizes possuem propriedades notáveis: são hermitianas (\( \sigma_i^\dagger = \sigma_i \)), involutórias (\( \sigma_i^2 = I \)) e sem traços. Eles satisfazem a relação algébrica:
\[ \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij}I + i \epsilon_{ijk} \sigma_k \]
Spinors e a rotação de 720 graus
Um estado spin-1/2 é representado por um vetor coluna complexo de dois componentes chamado espinor , \( \chi = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \), onde \( |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \). Os espinores se comportam de maneira muito diferente dos vetores espaciais padrão sob rotação. O operador unitário para girar um estado de spin por um ângulo \( \theta \) em torno de um eixo unitário \( \hat{n} \) é gerado pelo operador de spin:
\[ R_{\hat{n}}(\theta) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar} \vec{S} \cdot \hat{n} \theta\right) = \exp\left(-i \frac{\vec{\sigma} \cdot \hat{n}}{2} \theta\right) \]
Usando a fórmula de Euler para matrizes de Pauli, isso se torna:
\[ R_{\hat{n}}(\theta) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) I - i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) (\vec{\sigma} \cdot \hat{n}) \]
Isso introduz a bizarra dependência do “meio ângulo”. Se você girar um espinor em 360 graus completos (\( \theta = 2\pi \)), o operador produzirá \( \cos(\pi) = -1 \). O espinor adquire sinal negativo: \( |\psi\rangle \to -|\psi\rangle \). Embora as probabilidades observáveis (\( |\psi|^2 \)) permaneçam inalteradas, esta mudança de fase é fisicamente mensurável em experimentos de interferência quântica (como interferometria de nêutrons). Para retornar o espinor ao seu estado original exato, incluindo fase, você deve girá-lo 720 graus (\( 4\pi \)). Isto reflete o fato topológico de que SU(2) é a cobertura dupla simplesmente conectada do grupo de rotação 3D SO(3).
Medição e Emaranhamento
A natureza bizarra do spin é demonstrada mais vividamente através da medição.
Experimentos sequenciais de Stern-Gerlach
Considere passar um feixe de partículas não polarizadas de spin-1/2 através de um aparelho Stern-Gerlach orientado ao longo do eixo z (SGz). Ele se divide em dois feixes: \( |+z\rangle \) e \( |-z\rangle \). Se bloquearmos o feixe \( |-z\rangle \) e passarmos o feixe \( |+z\rangle \) puro através de um segundo SGz, 100% das partículas emergem como \( |+z\rangle \). O estado é definitivo.
Agora, pegue aquele feixe \( |+z\rangle \) puro e passe-o por um aparelho SGx (orientado ao longo do eixo x). O feixe se divide novamente, 50% emergindo como \( |+x\rangle \) e 50% como \( |-x\rangle \). O estado \( |+z\rangle \) é uma superposição de estados x: \( |+z\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+x\rangle + |-x\rangle) \).
A estranheza quântica final ocorre se pegarmos o feixe \( |+x\rangle \) puro do segundo aparelho e passá-lo através de um terceiro aparelho orientado para trás ao longo do eixo z (SGz). Embora tenhamos filtrado explicitamente todas as partículas \( |-z\rangle \) no início, o terceiro aparelho mede 50% \( |+z\rangle \) e 50% \( |-z\rangle \). Medir o spin x destruiu completamente o conhecimento do spin z. Esta é uma manifestação física direta dos operadores não comutados \( [S_x, S_z] \neq 0 \) e do Princípio da Incerteza de Heisenberg aplicado ao momento angular.
Spin e Emaranhamento Quântico (Paradoxo EPR)
Spin fornece a estrutura teórica mais limpa para explorar o emaranhamento quântico. Em 1935, Einstein, Podolsky e Rosen (EPR) formularam um paradoxo para argumentar que a mecânica quântica estava incompleta. David Bohm mais tarde reformulou esse paradoxo usando partículas de spin-1/2.
Imagine uma partícula de spin 0 (como um píon neutro) decaindo em um elétron e um pósitron. Pela conservação do momento angular, o spin total do par deve ser zero. Eles estão no estado singleto :
\[ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B - |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B) \]
Os spins são perfeitamente anticorrelacionados. Se Alice medir o spin da partícula A ao longo do eixo z e encontrar "para cima", ela saberá instantaneamente que a medição da partícula B por Bob ao longo do eixo z resultará em "para baixo", independentemente da distância entre eles. Esta “ação assustadora à distância” perturbou Einstein. No entanto, John Bell formulou o Teorema de Bell em 1964, fornecendo desigualdades matematicamente rigorosas que qualquer teoria clássica de variáveis ocultas deve obedecer. Experimentos subsequentes, principalmente de Alain Aspect na década de 1980, usando polarizações de fótons correlacionadas (análogas ao spin), violaram definitivamente as desigualdades de Bell. O universo é fundamentalmente não-local; o estado de spin emaranhado é um sistema quântico único e indivisível que abrange distâncias macroscópicas.
Spin na Física Atômica
A estrutura da tabela periódica, as cores da luz emitida pelas estrelas e as propriedades magnéticas dos materiais são todas ditadas pela interação do spin com o seu ambiente.
Acoplamento Spin-Órbita e Estrutura Fina
À medida que um elétron orbita o núcleo, a partir de seu referencial de repouso, ele "vê" o núcleo carregado positivamente que o orbita. Essa carga em movimento gera um campo magnético. O momento magnético intrínseco do elétron (devido ao seu spin) interage com este campo magnético interno. Esta energia de interação é dada pelo termo de acoplamento spin-órbita, \( H_{SO} \propto \vec{L} \cdot \vec{S} \).
Este acoplamento, juntamente com correções relativísticas à energia cinética do elétron e ao termo Darwin (um efeito de mancha quântica do núcleo), cria o estrutura fina de espectros atômicos. Isso faz com que os níveis de energia com o mesmo número quântico principal \( n \) se dividam ligeiramente com base em seu momento angular total \( \vec{J} = \vec{L} + \vec{S} \).
Estrutura Hiperfina
O núcleo atômico também possui um spin intrínseco, geralmente denotado por \( \vec{I} \). O núcleo cria seu próprio minúsculo momento dipolar magnético. A interação entre o spin do elétron \( \vec{S} \) e o spin nuclear \( \vec{I} \) é chamada de interação hiperfina. Esta divisão de energia é cerca de mil vezes menor que a estrutura fina. O exemplo mais famoso é a linha de 21 centímetros (1420 MHz) de hidrogênio neutro. Esta emissão ocorre quando os spins do elétron e do próton passam de um estado alinhado (paralelo) para um estado anti-alinhado (antiparalelo). Esta linha de 21 cm é a ferramenta fundamental da radioastronomia usada para mapear o meio interestelar da galáxia.
O Efeito Zeeman
Quando um campo magnético externo é aplicado a um átomo, seus níveis de energia se dividem, fazendo com que as linhas espectrais se separem em múltiplos componentes. Este é o efeito Zeeman. O hamiltoniano inclui um termo \( H_Z = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} \). Como tanto o momento angular orbital quanto o spin contribuem para o momento magnético total, a divisão é complexa. A descoberta do efeito Zeeman anômalo – que a física clássica não conseguia explicar – foi o principal impulsionador da postulação inicial do spin do elétron. A divisão precisa da energia é fortemente influenciada pelo fator g de Landé, uma constante da mecânica quântica que caracteriza o momento magnético e o momento angular do átomo.
Teorema de Spin e Estatística
Talvez a consequência mais profunda do spin quântico seja o Teorema da Estatística de Spin, rigorosamente comprovado por Wolfgang Pauli em 1940 usando a teoria quântica de campos relativística. O teorema estabelece uma conexão rígida entre o spin intrínseco de uma partícula e as regras estatísticas quânticas às quais ela obedece.
Férmions vs. Bósons
Todas as partículas no universo se enquadram em uma de duas categorias:
Férmions: Partículas com spin meio inteiro (\( 1/2, 3/2, 5/2 \dots \)), como elétrons, prótons, nêutrons e quarks. A função de onda de muitos corpos de férmions idênticos deve ser completamente antisimétrico sob a troca de quaisquer duas partículas: \( \Psi(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) = -\Psi(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) \). Bósons: Partículas com spin inteiro (\( 0, 1, 2 \dots \)), como fótons, glúons, bósons W/Z e o bóson de Higgs. A função de onda de muitos corpos de bósons idênticos deve ser completamente simétrico sob troca: \( \Psi(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) = +\Psi(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) \).
O Princípio e a Importância da Exclusão de Pauli
Para férmions, se duas partículas ocupassem exatamente o mesmo estado quântico (\( x_i = x_j \)), o requisito de antissimetria significaria \( \Psi = -\Psi \), o que força \( \Psi = 0 \). Isso deriva matematicamente o Princípio de exclusão de Pauli : não há dois férmions idênticos que possam ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente.
Este princípio é a única razão pela qual existe matéria sólida. Impede que todos os elétrons de um átomo entrem em colapso no orbital de energia mais baixa. Em vez disso, eles formam camadas atômicas, levando diretamente às propriedades químicas dos elementos, à estrutura da tabela periódica e à força repulsiva que impede a matéria de passar através de outra matéria (pressão de degeneração eletrônica). A pressão de degenerescência é também o que impede as anãs brancas e as estrelas de neutrões de colapsarem sob a sua imensa gravidade.
Condensação de Bose-Einstein
Os bósons, por outro lado, não têm tal restrição. Na verdade, eles exibem uma preferência estatística para ocupar o mesmo estado quântico. Em temperaturas extremamente baixas, um número macroscópico de bósons pode entrar em colapso no único estado de energia mais baixo, formando um novo estado da matéria conhecido como Condensado de Bose-Einstein (BEC). Essa coerência quântica macroscópica é responsável por fenômenos como supercondutividade (onde pares de elétrons, chamados pares de Cooper, atuam como bósons compostos) e superfluidez (hélio líquido fluindo com viscosidade zero).
Aplicações do mundo real
O spin quântico não é apenas uma curiosidade teórica; é a base de indústrias multibilionárias e de tecnologias de ponta.
Imagem por ressonância magnética (RM)
A ressonância magnética, um elemento básico do diagnóstico médico moderno, depende diretamente do spin quântico dos núcleos atômicos, principalmente dos prótons (núcleos de hidrogênio) abundantes na água e na gordura do corpo humano. Em um campo magnético externo forte, esses prótons de spin 1/2 alinham-se paralelamente (baixa energia) ou antiparalelo (alta energia) ao campo. Ao aplicar um pulso de radiofrequência (RF) exatamente na frequência de precessão de Larmor dos spins, os prótons absorvem energia e invertem seus estados de spin (Ressonância Magnética Nuclear, RMN). Quando o pulso de RF é desligado, os spins relaxam e voltam ao seu estado de equilíbrio, emitindo um sinal de rádio. Ao analisar os tempos de relaxamento e utilizar gradientes magnéticos espaciais, os computadores podem construir imagens 3D incrivelmente detalhadas e não invasivas de tecidos moles dentro do corpo.
Spintrônica
A eletrônica tradicional depende exclusivamente da carga do elétron para processar e armazenar informações. Spintrônica (eletrônica de transporte de spin) explora o estado de spin do elétron além de sua carga. Um avanço importante foi a descoberta da Magnetorresistência Gigante (GMR) por Albert Fert e Peter Grünberg em 1988 (pela qual ganharam o Prêmio Nobel de 2007). Nos dispositivos GMR, a resistência elétrica muda drasticamente dependendo dos alinhamentos relativos de spin em camadas alternadas de filmes finos magnéticos e não magnéticos. Essa tecnologia revolucionou o armazenamento de dados, levando a aumentos maciços na capacidade dos discos rígidos dos computadores, bem como ao desenvolvimento da memória magnética de acesso aleatório (MRAM) não volátil.
Computação Quântica
Os computadores quânticos utilizam bits quânticos (qubits) que podem existir em superposições de 0 e 1, permitindo cálculos exponencialmente mais rápidos para algoritmos complexos específicos. O sistema spin-1/2 é o modelo matemático por excelência para um qubit. Os pesquisadores estão construindo ativamente qubits físicos usando spins de elétrons confinados em pontos quânticos semicondutores (qubits de spin em silício) ou spins nucleares e de elétrons associados a centros de vacância de nitrogênio (NV) em redes de diamante. Controlar, entrelaçar e medir esses delicados estados de spin com alta fidelidade é um dos caminhos mais promissores para a computação quântica tolerante a falhas.
Equívocos comuns
"Spin significa que a partícula está literalmente girando"
Este é o mito mais difundido. Spin é uma forma intrínseca, puramente mecânica quântica, de momento angular. Um elétron é considerado uma partícula pontual; não tem raio nem volume. Não pode estar “girando” em nenhum sentido clássico. O termo “spin” é um artefato histórico que pegou.
"Spin é apenas outra forma de momento angular orbital"
Embora ambos sejam momentos angulares e satisfaçam as mesmas relações de comutação da álgebra de Lie, suas origens e valores permitidos são distintos. O momento angular orbital (\( \ell \)) surge do movimento através do espaço e é restrito a números inteiros. Spin (\( s \)) é intrínseco e pode ser meio inteiro.
"Apenas férmions têm spin"
Todas as partículas possuem um número quântico de spin, incluindo os bósons. Os fótons são partículas de spin 1, os grávitons (hipotéticos) são de spin 2 e o bóson de Higgs é a única partícula fundamental conhecida com spin de exatamente 0 (uma partícula escalar).
"Você pode medir a direção exata que um spin está apontando"
Devido à não comutatividade dos operadores de spin, você só pode ter conhecimento definido da magnitude total do spin (\( S^2 \)) e do componente de spin ao longo um único eixo (geralmente designado eixo z) simultaneamente. Os componentes ao longo dos outros dois eixos ortogonais são totalmente indeterminados.
Perguntas frequentes
Qual é o menor spin diferente de zero?
O menor spin diferente de zero é \( 1/2 \). Isso caracteriza elétrons, neutrinos e quarks. Spin 0 (bóson de Higgs) é o menor valor absoluto de spin.
Por que a equação de Dirac prevê o spin?
A equação de Dirac busca unificar a mecânica quântica com a relatividade especial. Ao exigir que a equação de onda fosse de primeira ordem no tempo e no espaço para satisfazer a invariância de Lorentz, Dirac teve que usar funções de onda multicomponentes (espinores) e matrizes (matrizes gama). Esta estrutura matemática acomoda e dita naturalmente um momento angular intrínseco de \( \hbar/2 \) sem que ele seja inserido manualmente na teoria.
Uma partícula pode mudar seu spin?
A magnitude de spin intrínseca (\( s \)) é uma propriedade imutável de um tipo de partícula; um elétron sempre terá spin-1/2. No entanto, a orientação ou estado do spin (por exemplo, \( m_s = +1/2 \) ou \( -1/2 \)) pode mudar facilmente através de interações com campos magnéticos ou outras partículas (por exemplo, absorvendo um fóton).
E os fótons – eles têm spin 1, mas apenas duas polarizações?
Partículas massivas de spin-1 (como os bósons W e Z) têm três estados de spin distintos (\( m_s = -1, 0, 1 \)). Os fótons, entretanto, não têm massa e viajam à velocidade da luz. A relatividade dita que partículas sem massa só podem exibir polarizações transversais (estados de helicidade). O estado longitudinal (\( m_s = 0 \)) é proibido para partículas sem massa.
Fontes e leituras adicionais
Gerlach, W. e Stern, O. "Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld." Zeitschrift für Physik 9, não. 1 (1922): 349-352. Uhlenbeck, GE, e Goudsmit, S. "Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Electrons." Naturwissenschaften 13, não. 47 (1925): 953-954. Dirac, PAM "A Teoria Quântica do Elétron." Anais da Royal Society de Londres. Série A 117, não. 778 (1928): 610-624. Sakurai, JJ e Napolitano, Jim. Mecânica Quântica Moderna. 2ª ed., Cambridge University Press, 2017. Griffiths, David J. e Schroeter, Darrell F. Introdução à Mecânica Quântica. 3ª ed., Cambridge University Press, 2018. Pauli, Wolfgang. "A conexão entre rotação e estatística." Revisão Física 58, não. 8 (1940): 716-722. Tomonaga, Sin-Itiro. A história da rotação. Imprensa da Universidade de Chicago, 1997.