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Introduzione Indipendente dal tempo Perturbazione degenerata Dipendente dal tempo La regola d'oro di Fermi Applicazioni Idee sbagliate Domande frequenti Fonti Introduzione
La maggior parte dei problemi di meccanica quantistica non possono essere risolti esattamente. La teoria delle perturbazioni fornisce approssimazioni sistematiche quando l'Hamiltoniano può essere suddiviso in una parte solubile Ĥ₀ e una piccola perturbazione Ĥ': Ĥ = Ĥ₀ + λĤ'. L'espansione delle soluzioni in potenze di λ fornisce correzioni alle energie, alle funzioni d'onda e alle probabilità di transizione. La tecnica è il cavallo di battaglia per la fisica atomica, la fisica nucleare, la materia condensata e la teoria quantistica dei campi.
Teoria delle perturbazioni indipendenti dal tempo
Per un Hamiltoniano stazionario Ĥ = Ĥ₀ + λĤ' con autostati noti |n⁰⟩ di Ĥ₀ con energie En ⁰:
Energia del primo ordine
En ⁽¹⁾ = ⟨n⁰|Ĥ'|n⁰⟩
Funzione d'onda del primo ordine
|n⁽¹⁾⟩ = Σm≠n [⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩ / (En ⁰ − Em ⁰)] |m⁰⟩
Energia del secondo ordine
En ⁽²⁾ = Σm≠n |⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩|² / (En ⁰ − Em ⁰)
La serie in λ generalmente converge per λ sufficientemente piccoli. Per λ grandi sono necessari metodi alternativi [1 ].
Teoria delle perturbazioni degenerate
Se |n⁰⟩ è degenere (più stati con lo stesso En ⁰), le formule del primo ordine hanno denominatori nulli. La soluzione: diagonalizzare la matrice di perturbazione all'interno del sottospazio degenere. Le correzioni del primo ordine alle energie sono autovalori di questa matrice; gli autovettori corrispondenti sono gli stati propri di ordine zero.
Esempio: effetto Stark
Un campo elettrico perturba l’idrogeno. Per n = 2 (4 volte degenere), la perturbazione solleva la degenerazione in modo lineare nel campo: l'effetto Stark lineare, caratteristico dell'idrogeno. Per gli stati non degenerati, l'effetto principale è quadratico.
Teoria delle perturbazioni dipendenti dal tempo
Per una perturbazione dipendente dal tempo Ĥ'(t), la probabilità di trovare il sistema nello stato |m⟩ al tempo t, dato che è iniziato in |n⟩:
Pn→m (t) = |(1/iℏ) ∫₀t ⟨m|Ĥ'(t')|n⟩ exp(iωmn t') dt'|²
dove ωmn = (Em −En )/ℏ. For a harmonic perturbation, transitions are most efficient at resonance (driving frequency = transition frequency).
La regola d'oro di Fermi
Per le transizioni da uno stato discreto a un continuum di stati con densità ρ(Ef ), il tasso di transizione per unità di tempo:
Γi→f = (2π/ℏ) |⟨f|Ĥ'|i⟩|² ρ(Ef )
Chiamata "regola d'oro di Fermi" da Fermi, che la usò ampiamente. È il cavallo di battaglia per il calcolo dei tassi di decadimento, delle sezioni trasversali di dispersione, delle probabilità di ionizzazione e di qualsiasi processo che coinvolga transizioni verso un continuum [2 ].
Applicazioni
Fisica atomica: Effetti Stark, Zeeman; allargamento della linea; tassi di emissione spontanea.Fisica nucleare: Tassi di decadimento beta; transizioni nucleari.Materia condensata: Diffusione elettrone-fonone; resistività elettrica da impurità.Fisica delle particelle: Tassi di decadimento, ampiezze di scattering (i diagrammi di Feynman sono espansioni perturbative).Chimica: Spettri molecolari, velocità di reazione. Idee sbagliate comuni
"La teoria delle perturbazioni converge sempre"
Spesso fornisce serie asintotiche che alla fine divergono. Per la QED, la serie di perturbazioni è asintotica, con il resto asintotico limitato per molti scopi pratici.
"Le correzioni di ordine superiore migliorano sempre la precisione"
Per le serie asintotiche, solo fino a un certo ordine. Al di là dell'ordine ottimale, i termini crescono.
"La teoria delle perturbazioni sostituisce le soluzioni esatte"
No: fornisce soluzioni approssimative quando quelle esatte non sono disponibili. Laddove esistono soluzioni esatte, sono preferibili.
"La regola d'oro di Fermi si applica a qualsiasi transizione"
Si applica quando gli stati finali formano un continuum e la perturbazione è debole. Non per transizioni da discreto a discreto o guida forte.
Domande frequenti
Qual è il piccolo parametro?
Qualunque cosa renda la perturbazione piccola rispetto a Ĥ₀. Per l'effetto Stark, l'intensità del campo elettrico rispetto alle scale del campo atomico. Per QED, la costante di struttura fine α ≈ 1/137.
Quando la teoria delle perturbazioni fallisce?
Regimi di accoppiamento forte (QCD reticolare, accoppiamento BCS, ecc.) richiedono metodi non perturbativi. Le risonanze e le quasi degenerazioni richiedono una teoria delle perturbazioni degenerata.
Qual è il collegamento con i diagrammi di Feynman?
I diagrammi di Feynman sono una rappresentazione pittorica dei termini della teoria delle perturbazioni. Ogni diagramma corrisponde a un termine nell'espansione perturbativa della matrice S.
In che modo la teoria delle perturbazioni è correlata ai metodi numerici?
Per piccole perturbazioni, l'espansione analitica è più veloce di quella numerica. Per grandi perturbazioni, la diagonalizzazione numerica diretta è spesso più semplice e precisa.
Fonti
Sakurai, JJ, Napolitano, J. (2017). Meccanica quantistica moderna , 2a ed.
Fermi, E. (1950). Fisica nucleare . Stampa dell'Università di Chicago.
Griffiths, DJ (2018). Introduzione alla meccanica quantistica , 3a ed.
Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1977). Meccanica Quantistica . Wiley.