Indice
Introduzione Il Metodo Punti di svolta Quantizzazione dello stato vincolato Tunneling Idee sbagliate Domande frequenti Fonti Introduzione
L'approssimazione di Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB), sviluppata nel 1926 da tre fisici che lavoravano in modo indipendente, fornisce una soluzione semiclassica dell'equazione di Schrödinger per potenziali lentamente variabili. Collega la meccanica quantistica e classica, fornendo approssimazioni analitiche alle energie degli stati legati, alle velocità di tunneling e alle fasi di scattering. La WKB è una delle tecniche più utilizzate nella meccanica quantistica.
Il Metodo
Scrivi la funzione d'onda come ψ(x) = exp(iS(x)/ℏ) ed espandi S in potenze di ℏ:
S = S₀ + ℏS₁ + ℏ²S₂ + ...
Sostituendo nell'equazione di Schrödinger e mantenendo gli ordini principali si ottiene:
ψ(x) ≈ (1/√p(x)) exp(±(i/ℏ)∫p(x')dx')
dove p(x) = √(2m(E−V(x))) è la quantità di moto classica. Valido quando il potenziale varia lentamente rispetto alla lunghezza d'onda locale di de Broglie [1 ].
Validità
L'approssimazione WKB è buona quando |dλ/dx| ≪ 1, dove λ = 2πℏ/p è la lunghezza d'onda locale di de Broglie. Si rompe vicino ai punti di svolta classici dove p → 0.
Punti di svolta
Nei punti di svolta classici (E = V), p = 0 e la formula WKB ha una singolarità. Speciali "formule di connessione" (funzioni di Airy) gestiscono la transizione tra la regione oscillatoria (E > V) e la regione a decadimento esponenziale (E < V).
La connessione standard: nella regione classicamente consentita, ψ ∼ cos(∫p dx/ℏ − π/4). Nella regione proibita, ψ ∼ exp(−∫|p| dx/ℏ). Lo sfasamento −π/4 deriva dagli asintotici della funzione di Airy [2 ].
Quantizzazione dello stato vincolato
Per uno stato legato con due punti di svolta x₁ e x₂, la condizione di quantizzazione WKB (Bohr-Sommerfeld) è:
∫x₁ x₂ p(x)dx = (n + 1/2)πℏ
dove n = 0, 1, 2, ... è il numero quantico. Ciò generalizza la vecchia condizione di quantizzazione di Bohr con una correzione di 1/2 dall'indice di Maslov (ogni punto di svolta contribuisce alla perdita di fase π/2).
Esempi
Oscillatore armonico: WKB dà il risultato esatto En = ℏω(n + 1/2).
Idrogeno: WKB fornisce la formula di Rydberg corretta (con una certa attenzione al termine centrifugo del momento angolare).
Potenziali anarmonici: WKB fornisce livelli energetici sorprendentemente accurati per numeri quantici da moderati ad alti.
Tunneling
Il coefficiente di trasmissione WKB attraverso una barriera è:
T ≈ exp[−(2/ℏ)∫x₁ x₂ √(2m(V(x)−E)) dx]
Questa è la formula standard per la probabilità di tunneling. Utilizzato in:
Decadimento alfa (Gamow 1928).
Fusione nelle stelle (picco Gamow).
Microscopia a scansione tunnel.
Tassi di ionizzazione del campo in forti campi elettrici.
Decadimento del vuoto nella teoria dei campi.
Vedi l'articolo dedicato al tunneling quantistico per i dettagli.
Idee sbagliate comuni
"WKB è esatto"
È un'approssimazione, esatta solo nel limite ℏ → 0. Per alcuni potenziali speciali (oscillatore armonico), WKB dà risposte esatte, ma generalmente ci sono delle correzioni.
"WKB funziona sempre per qualsiasi potenziale"
Fallisce in prossimità di punti di svolta (gestiti dalle funzioni di Airy) e per potenziali fortemente variabili. I potenziali lisci sono i migliori.
"WKB è solo un'approssimazione"
È fondamentale. L'approssimazione principale può essere estesa sistematicamente; la riepilogo fornisce risultati ancora più accurati. Le tecniche WKB si generalizzano a problemi multidimensionali e alla teoria dei campi.
"WKB dà la meccanica classica"
Collega il quantistico al classico, fornendo importanti correzioni quantistiche ai risultati classici. Il limite ℏ → 0 recupera la meccanica classica; ordini superiori danno correzioni quantistiche.
Domande frequenti
Chi è "W", "K", "B"?
Wentzel, Kramers, Brillouin - tre fisici che svilupparono il metodo nel 1926. A volte chiamato "JWKB" incluso Jeffreys, che sviluppò metodi simili in precedenza per le equazioni differenziali.
Quanto è accurato il WKB per l'oscillatore armonico?
Esatto! WKB dà En = ℏω(n + 1/2) — uguale alla soluzione esatta di Schrödinger. Questa è una coincidenza (o meglio, riflette la struttura speciale dell'oscillatore).
Cos'è l'indice di Maslov?
Una correzione topologica alla fase WKB che conta i punti di svolta. Ogni punto di svolta morbido contribuisce alla fase π/2. La metà nella formula di Bohr-Sommerfeld deriva da due punti di svolta che contribuiscono al π totale.
WKB può gestire problemi multidimensionali?
Sì, la WKB multidimensionale ha una struttura ricca (caustiche, punti focali). La "teoria di Maslov-Arnold" generalizza l'indice di Maslov 1D.
Fonti
Griffiths, DJ (2018). Introduzione alla meccanica quantistica , 3a ed.
Bender, C.M., Orszag, S.A. (1999). Metodi matematici avanzati per scienziati e ingegneri . Springer.
Sakurai, JJ, Napolitano, J. (2017). Meccanica quantistica moderna , 2a ed.
Kramers, HA (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung." Zeitschrift für Physik , 39(10-11), 828–840.