Indice
Introduzione L'impostazione Numeri quantici Livelli energetici Funzioni d'onda Struttura fine Divisione iperfine Lo spostamento dell'Agnello Idee sbagliate Domande frequenti Fonti Introduzione
L’atomo di idrogeno – un protone e un elettrone – è il banco di prova più pulito della meccanica quantistica. La sua equazione di Schrödinger può essere risolta esattamente, producendo la famosa formula di Rydberg per le linee spettrali e un insieme completo di autostati energetici etichettati da numeri quantici (n, ℓ, m, ms ). L'accordo tra teoria ed esperimento è straordinario; i perfezionamenti attraverso la struttura fine, la suddivisione iperfine, lo spostamento di Lamb e le correzioni QED continuano oggi al livello di parti per trilione.
Questo articolo illustra la soluzione standard della meccanica quantistica, i numeri quantici, le funzioni d'onda e le piccole correzioni che trasformano l'accordo approssimativo in un accordo di precisione con l'esperimento.
L'impostazione
Un elettrone di massa m e carica −e si muove nel potenziale di Coulomb V(r) = −e²/(4πε₀r) di un protone. Considerando il protone come infinitamente pesante (una buona prima approssimazione), l'equazione di Schrödinger diventa:
[−(ℏ²/2m)∇² − e²/(4πε₀r)] ψ = Eψ
La simmetria sferica consente la separazione delle variabili: ψ(r,θ,φ) = R(r)Yℓm (θ,φ), dove Yℓm sono armoniche sferiche. L'equazione radiale ha soluzioni analitiche in termini di polinomi di Laguerre associati [1 ].
Numeri quantici
Ogni stato è caratterizzato da quattro numeri quantici:
n (principale): 1, 2, 3, ... Determina l'energia.ℓ (momento angolare orbitale): 0, 1, ..., n−1.m (magnetico): −ℓ, −ℓ+1, ..., ℓ.ms (rotazione): ±½.
Notazione
ℓ = 0 si chiama s, ℓ = 1 è p, ℓ = 2 è d, ℓ = 3 è f. Quindi 1s è n=1, ℓ=0; 2p è n=2, ℓ=1; ecc. La degenerazione del livello energetico n (ignorando lo spin) è n² (da ℓ = 0 a n−1 con valori 2ℓ+1 m ciascuno).
Livelli energetici
Le energie dello stato legato sono:
En = −13,6 eV/n²
o più precisamente En = −me e⁴/(8ε₀²h²n²) = −RH /n², con RH = 13,605693 eV (l'energia di Rydberg).
La formula di Rydberg
Le transizioni tra i livelli emettono o assorbono fotoni con frequenze:
ν = R[1/nf ² − 1/ni ²]
Questo riproduce le serie spettrali dell'idrogeno di Lyman, Balmer, Paschen, Brackett e Pfund. Il primo grande successo di Schrödinger nel 1926 fu quello di derivare questa formula dalla sua equazione [2 ].
Energia di ionizzazione
Per rimuovere l'elettrone dallo stato fondamentale (n = 1) sono necessari 13,6 eV: l'energia di ionizzazione dell'idrogeno, misurata accuratamente e corrispondente alla teoria con molte cifre decimali.
Funzioni d'onda
Le funzioni d'onda complete sono prodotti di parti radiali e angolari:
ψnℓm (r, θ, φ) = Rnℓ (r) Yℓm (θ, φ)
Stato fondamentale (1s)
ψ100 = (1/√π) (1/a₀)^(3/2) e^(−r/a₀), con a₀ = 4πε₀ℏ²/(me e²) = 5,29 × 10⁻¹¹ m, il raggio di Bohr. Sfericamente simmetrico; decadimento esponenziale dal nucleo.
2s e 2p
2s ha un nodo radiale. 2p ha nodi angolari (i tre orbitali p puntano lungo x, y, z, con lobi di segno opposto).
N. superiore
Per n più grandi, ℓ, più nodi e struttura angolare più complessa. Le forme orbitali (s sferico, p a manubrio, d a quattro lobi, f a otto lobi) sono standard in chimica.
Struttura fine
La semplice soluzione di Schrödinger ignora gli effetti relativistici. Includendoli si ottiene la "struttura fine" - piccole suddivisioni dei livelli energetici [3 ].
Tre correzioni
Correzione relativistica dell'energia cinetica: T = p²/2m + p⁴/(8m³c²) + ...
Interazione spin-orbita: lo spin dell'elettrone si accoppia al suo movimento orbitale nel campo del protone.
Termine darwiniano: una correzione relativistica concentrata all'origine.
Tutte e tre le correzioni sono dell'ordine α² × En , dove α ≈ 1/137 è la costante di struttura fine. Combinati, spostano i livelli di energia in quantità che sollevano alcune degenerazioni e producono la struttura multiplettata osservata.
Momento angolare totale
La struttura fine mescola stati con lo stesso momento angolare totale j = ℓ ± ½. Gli stati sono etichettati da n, ℓ, j (e mj ). Il livello 2p si divide in 2p½ e 2p3/2 .
Divisione iperfine
Il protone ha il proprio spin e il proprio momento magnetico. L'interazione tra momento magnetico dell'elettrone e momento magnetico del protone divide ulteriormente i livelli: la struttura iperfine [4 ].
La Linea da 21 cm
Lo stato fondamentale dell'idrogeno si divide in due dall'interazione iperfine. La differenza di energia corrisponde ad una transizione a 1420 MHz, ovvero una lunghezza d'onda di 21 cm. Questa è la famosa "linea da 21 cm" utilizzata in radioastronomia per mappare l'idrogeno atomico in tutta la Via Lattea e oltre.
Scala di suddivisione iperfine
Le correzioni iperfini sono dell'ordine (me /mp ) α² × En , più piccola della struttura fine per il rapporto di massa elettrone-protone (~10⁻³). Per lo stato fondamentale dell'idrogeno, la suddivisione è ~6 × 10⁻⁶ eV.
Lo spostamento dell'Agnello
Nel 1947, Willis Lamb misurò una piccola differenza di energia tra i 2½ e 2p½ stati dell'idrogeno che l'equazione di Dirac prevedeva essere degeneri [5 ]. La suddivisione (~1057 MHz) è Turno di agnello .
Il cambiamento deriva dall’elettrodinamica quantistica, in particolare dall’interazione dell’elettrone con le fluttuazioni del vuoto del campo elettromagnetico. Bethe (1947) fornì un calcolo non relativistico [6 ]; la moderna QED calcola lo spostamento in parti con una precisione di 10⁹.
Lo spostamento di Lamb fu un grande trionfo dell’elettrodinamica quantistica. Lamb vinse il Premio Nobel nel 1955 per la misurazione; Bethe, Tomonaga, Schwinger e Feynman hanno condiviso vari premi per la struttura teorica.
Idee sbagliate comuni
"L'equazione di Schrödinger dà tutta la fisica dell'idrogeno"
Dà la struttura lorda. La struttura fine, l'iperfine e lo spostamento di Lamb richiedono una QED relativistica.
"Gli elettroni orbitano in circolo attorno al nucleo"
Il vecchio modello di Bohr. L’immagine quantistica ha gli elettroni negli orbitali: distribuzioni di probabilità, non percorsi classici.
"I livelli di energia sono determinati solo da n"
Per l’equazione di Schrödinger non relativistica, sì. Con le correzioni relativistiche, l'energia dipende sia da n che da j (e leggermente da ℓ tramite correzioni QED).
"La linea di 21 cm è un'oscillazione della lunghezza d'onda di 21 cm dell'atomo"
È la lunghezza d'onda del fotone emesso nella transizione iperfine. L'atomo stesso è molto più piccolo (~ angstrom).
Domande frequenti
Perché la formula di Rydberg è così accurata?
Perché il potenziale di Coulomb fornisce un problema esattamente risolvibile nella meccanica quantistica non relativistica. Piccole correzioni derivanti dalla relatività, dagli effetti del vuoto e dall’effetto di massa ridotta sono tutte calcolabili e minuscole.
Qual è la dimensione di un atomo di idrogeno?
Il raggio di Bohr a₀ = 5,29 × 10⁻¹¹ m è la scala caratteristica. L'orbitale 1s ha ⟨r⟩ = 1,5 a₀. Gli stati superiori sono più grandi; lo stato n-esimo ha ⟨r⟩ ~ n²a₀.
Come viene misurato oggi lo spettro dell'idrogeno?
Con i pettini di frequenza, la spettroscopia di precisione raggiunge le parti per 10¹⁵ nella transizione 1s-2s. Lo spettro dell'idrogeno è lo spettro atomico misurato con maggiore precisione.
Qual è il puzzle del raggio del protone?
Le misurazioni dell'idrogeno muonico hanno fornito un raggio del protone leggermente diverso dalle misurazioni elettroniche. La discrepanza viene ora risolta con una teoria migliore ed esperimenti aggiuntivi [7 ].
Esistono stati legati con ℓ negativo?
No — ℓ ≥ 0 è richiesto dalla geometria. Il numero quantico principale n = ℓ + 1 + nr , dove nr ≥ 0 è il numero quantico radiale.
Fonti
Griffiths, DJ (2018). Introduzione alla meccanica quantistica , 3a ed.
Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem." Annalen der Physik .
Bethe, HA, Salpeter, EE (1957). Meccanica quantistica degli atomi a uno e due elettroni . Springer.
Bethe, HA, Salpeter, EE (1957). Op. cit.
Agnello, WE, Retherford, RC (1947). "Struttura fine dell'atomo di idrogeno mediante metodo a microonde." Revisione fisica , 72(3), 241.
Bethe, HA (1947). "Lo spostamento elettromagnetico dei livelli di energia." Revisione fisica , 72(4), 339.
Antognini, A., et al. (2013). "Struttura del protone dalla misurazione delle frequenze di transizione 2S-2P dell'idrogeno muonico." Scienza , 339(6118), 417–420.