Introduzione
L'oscillatore armonico quantistico è il sistema modello più importante nella meccanica quantistica. Descrive una particella in un potenziale quadratico V(x) = 1/2momega^2x^2, e appare quasi ovunque: nelle vibrazioni molecolari, nei fononi reticolari, nei modi fotonici, nell'accoppiamento luce-materia, nel decadimento beta, nel calcolo quantistico della trappola ionica e nelle approssimazioni di quasi ogni potenziale liscio vicino al suo minimo. Le sue soluzioni sono analitiche, eleganti e rivelano gran parte della bellezza strutturale della meccanica quantistica.
Questo articolo illustra la configurazione, i livelli di energia, gli operatori ladder, le funzioni d'onda, le applicazioni più importanti e le idee sbagliate che derivano da un modello così ampiamente utilizzato.
L'impostazione
Una particella di massa m in un potenziale quadratico, con frequenza classica omega, ha Hamiltoniano:
H = p^2/(2m) + 1/2 m omega^2 x^2
L'equazione di Schròdinger H psi = E psi diventa un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, risolvibile analiticamente. Le funzioni d'onda consentite sono limitate dal potenziale quadratico, che porta a livelli energetici discreti [1].
Livelli energetici
Lo spettro è la famosa scala equidistante:
En = hbar omega (n + 1/2), n = 0, 1, 2, ...
Lo stato più basso non è a energia zero. Anche a n = 0, l'oscillatore ha energia di punto zero hbar omega / 2. Ciò deriva dal principio di indeterminazione: la particella non può avere sia una diffusione di posizione esattamente pari a zero che una diffusione di momento esattamente pari a zero.
Degenerazione
In una dimensione, ogni livello non è degenerato. In due dimensioni, l'n-esimo livello è (n+1)-volte degenerato; in tre dimensioni, è 1/2(n+1)(n+2)-volte degenere. La simmetria sferica dell'oscillatore 3D offre uno spettro ricco.
Operatori ladder
La soluzione più elegante utilizza gli operatori di creazione e annientamento:
a = sqrt(m omega / 2 hbar) (x + i p / (m omega))
a† = sqrt(m omega / 2 hbar) (x - i p / (m omega))
Questi soddisfano [a, a†] = 1. L'Hamiltoniano diventa:
H = hbar omega (a†a + 1/2) = hbar omega (N + 1/2)
dove N = a†a è l'operatore numerico con autovalori n.
Alzare e Abbassare
a†|n> = sqrt(n+1)|n+1> crea un quanto di eccitazione.
a|n> = sqrt(n)|n-1> distrugge un quanto. a|0> = 0, quindi lo stato fondamentale non può essere ulteriormente abbassato.
L'intero spettro è costruito dallo stato fondamentale mediante ripetute applicazioni di a†. L'algebra è la base per la seconda quantizzazione, utilizzata nella teoria quantistica dei campi per descrivere la creazione e l'annichilazione delle particelle [2].
Funzioni d'onda
Le funzioni d'onda di rappresentazione della posizione sono:
psi_n(x) = (m omega / pi hbar)^(1/4) [1 / sqrt(2^n n!)] H_n(sqrt(m omega / hbar) x) exp(-m omega x^2 / 2 hbar)
dove Hn sono polinomi di Hermite.
Proprietà
- ψ_0: gaussiano puro, senza nodi.
- ψn: n nodi (zeri) nella regione classicamente consentita.
- Le funzioni d'onda si estendono leggermente nelle regioni classicamente proibite (code tunnel).
- Per n grandi, le funzioni d'onda oscillano rapidamente tra i punti di svolta, corrispondendo alla distribuzione di posizione classica.
Stati coerenti
Stati coerenti |alpha> sono autostati di a: a|alpha> = alpha|alpha>. Saturano la relazione di incertezza e sono gli stati quantistici "più classici". I loro pacchetti d'onda oscillano in modo sinusoidale senza propagarsi, esattamente come un oscillatore classico. Glauber li ha introdotti come descrizione standard della luce laser [3].
Stati schiacciati
Gli stati compressi ridistribuiscono l’incertezza: una variabile (posizione o quantità di moto) viene compressa al di sotto del minimo dello stato coerente, al costo di ampliare l’altra. Utilizzato in LIGO per superare il limite quantistico standard sul rilevamento delle onde gravitazionali.
Applicazioni
Vibrazioni Molecolari
Le vibrazioni dei legami molecolari sono approssimativamente armoniche. La spettroscopia infrarossa legge le transizioni vibrazionali, che si trovano nell'intervallo 10-4000 cm^-1. L'identificazione delle molecole tramite i loro spettri vibrazionali è il fondamento della spettroscopia IR.
Fononi nei solidi
Le vibrazioni del reticolo cristallino sono quantizzate come fononi: eccitazioni dell'oscillatore armonico dei modi del reticolo. I fononi trasportano il calore nei solidi, mediano l’accoppiamento elettrone-fonone per la superconduttività e dominano la termodinamica a bassa temperatura.
Fotoni
Il campo elettromagnetico può essere scomposto in modi di oscillatore armonico. Ciascuna modalità ha un operatore numerico che conta i fotoni. L’elettrodinamica quantistica si basa su questa struttura dell’oscillatore armonico.
Cavità QED
Un atomo in una cavità ottica si accoppia a un singolo modo di campo: un oscillatore armonico. Il modello Jaynes-Cummings che descrive questo è un sistema fondamentale nell'ottica quantistica [4].
Calcolo quantistico con trappola ionica
Gli ioni intrappolati si trovano in potenziali approssimativamente armonici. L'informazione quantistica è immagazzinata negli stati interni; il movimento ionico è un oscillatore armonico che media porte a due qubit.
Teoria quantistica dei campi
Ogni campo nella QFT, nel limite libero (non interagente), si decompone in oscillatori armonici. Le particelle sono quanti di questi oscillatori. La matematica dell'oscillatore armonico è alla base di tutta la teoria quantistica dei campi.
Oscillatore 3D
In tre dimensioni con potenziale V = 1/2momega^2(x^2 + y^2 + z^2):
En = hbaromega(n + 3/2)
dove n = nx + ny + nz. Lo stato fondamentale ha energia di punto zero (3/2)hbaromega. La degenerazione cresce quadraticamente con n.
L'oscillatore isotropo 3D ha soluzioni anche in coordinate sferiche, con numeri quantici (n, l, m). La struttura a simmetria sferica consente autostati di momento angolare. Molti modelli di fisica nucleare utilizzano l'oscillatore 3D come punto di partenza per i calcoli del modello a guscio.
Idee sbagliate comuni
"L'energia del punto zero è innocua"
È reale e osservabile (effetto Casimir, lamb shift, birifrangenza del vuoto). Ciò che non è, nonostante le affermazioni popolari, è estraibile come energia libera.
"L'oscillatore armonico è solo un modellino"
I sistemi approssimativamente armonici sono ovunque in fisica. Fononi, fotoni, vibrazioni molecolari: sono tutti oscillatori armonici. Il modello ha un’importanza pratica centrale.
"I livelli di energia equidistanti significano armonico"
I livelli equispaziati sono un forte indicatore. I sistemi reali spesso deviano (anarmonicità); diagnosticarlo dagli spettri è una tecnica standard.
"L'oscillatore quantistico non si comporta come quello classico"
Negli stati coerenti, si comporta in modo sorprendente come un oscillatore classico: i pacchetti d'onda oscillano sinusoidalmente alla frequenza omega. Le caratteristiche non classiche si manifestano negli stati numerici, negli stati compressi e nelle sovrapposizioni di stati Fock.
"Puoi risolverlo senza il metodo dell'operatore ladder"
Sì, i metodi ODE diretti funzionano. Il metodo dell'operatore ladder è più elegante e si generalizza naturalmente a QFT. Entrambi gli approcci danno la stessa fisica.
Domande frequenti
Qual è il più grande n in un oscillatore reale?
Limitato dall'anarmonicità e dalla dissociazione. I legami molecolari reali si rompono al di sopra di circa 10-30 quanti vibrazionali. I fononi cristallini possono avere un'occupazione molto ampia ad alta temperatura.
In che modo l'oscillatore armonico è correlato all'atomo di idrogeno?
Entrambi hanno soluzioni analitiche esatte in 3D. Condividono l'uso della separazione delle variabili in coordinate sferiche e la comparsa di speciali strutture polinomiali (Hermite per l'oscillatore, Laguerre per l'idrogeno).
L’oscillatore può trovarsi in uno stato arbitrario?
Sì, qualsiasi sovrapposizione normalizzata di autostati energetici è uno stato valido. Gli stati numerici, gli stati coerenti, gli stati compressi e le sovrapposizioni arbitrarie sono tutti fisicamente realizzabili.
Qual è la popolazione termica dei livelli dell'oscillatore armonico?
Alla temperatura T, la probabilità di trovarsi nel livello n è proporzionale a exp(-n hbar omega / k_B T). Ad alta T si recupera l'equipartizione classica: <E> approx k_B T. A bassa T il sistema rimane nello stato fondamentale.
In che modo l'oscillatore è correlato al circuito LC?
La carica in un condensatore e la corrente in un induttore obbediscono a semplici equazioni del moto armonico. Il circuito LC quantistico è un oscillatore armonico ed è la base dei qubit superconduttori nel circuito QED.
Fonti
- Griffiths, DJ (2018). Introduzione alla meccanica quantistica, 3a ed.
- Sakurai, JJ, Napolitano, J. (2017). Meccanica quantistica moderna, 2a ed.
- Glauber, RJ (1963). "Stati coerenti e incoerenti del campo di radiazione." Revisione fisica, 131(6), 2766-2788.
- Pareti, DF, Milburn, GJ (2008). Ottica Quantistica, 2a ed. Springer.
- Ashcroft, NW, Mermin, ND (1976). Fisica dello stato solido. (Per i fononi.)
- Peskin, M.E., Schroeder, D.V. (1995). Un'introduzione alla teoria quantistica dei campi. (Per oscillatori della teoria dei campi.)