Sommario
Introduzione e contesto storico Fondamenti matematici: spazi di Hilbert Il postulato dell'operatore osservabile Operatori hermitiani e autoaggiunti Autovalori, autostati e misurazione Commutatori e principio di indeterminazione Rappresentazioni di posizione e momento Operatori importanti nei sistemi fisici Immagini di Schrödinger, Heisenberg e Dirac Concetti avanzati: matrici di densità e POVM Valori attesi ed evoluzione temporale Il teorema spettrale Applicazioni nel mondo reale e verifiche sperimentali Idee sbagliate comuni Domande frequenti Fonti e approfondimenti
1. Introduzione e contesto storico
Nella vasta e astratta architettura della meccanica quantistica, le osservabilità fisiche – quantità che possono essere misurate in laboratorio, come energia, quantità di moto, posizione, momento angolare e rotazione – non sono semplicemente valori numerici statici. Invece, sono rappresentati da matematici operatori agendo sulla funzione d’onda del sistema. Un operatore trasforma uno stato quantistico in un altro e le sue proprietà matematiche determinano la totalità di ciò che può essere conosciuto, misurato e previsto riguardo a un sistema fisico.
La genesi storica di questo formalismo risale alla metà degli anni ’20. Nel 1925, Werner Heisenberg, Max Born e Pascual Jordan formularono Meccanica delle matrici , il primo quadro concettualmente completo della teoria quantistica. Nella loro teoria, le osservabili fisiche erano rappresentate da matrici a dimensione infinita che non necessariamente commutavano, il che significava che l’ordine di moltiplicazione era importante, un profondo allontanamento dalla fisica classica. Appena un anno dopo, Erwin Schrödinger formulò Meccanica delle onde , che rappresentano gli stati come funzioni d'onda continue governate da un'equazione differenziale.
Sebbene apparentemente disparate, queste due formulazioni furono presto dimostrate matematicamente equivalenti dallo stesso Schrödinger, e successivamente formalizzate rigorosamente da John von Neumann nel suo capolavoro del 1932 Mathematische Grundlagen der Quantinmechanik . Von Neumann introdusse il concetto di spazio di Hilbert alla fisica, mostrando che le matrici di Heisenberg e gli operatori differenziali di Schrödinger erano semplicemente rappresentazioni diverse delle stesse entità matematiche astratte: operatori lineari che agiscono su uno spazio di Hilbert . Questo formalismo degli operatori unificato rimane oggi il fondamento della moderna teoria quantistica.
2. Fondamenti della Matematica: Spazi di Hilbert
Per comprendere a fondo gli operatori quantistici, bisogna prima comprendere lo spazio in cui operano: lo spazio di Hilbert, indicato solitamente con H . Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale completo dotato di un prodotto scalare. Nella notazione bra-ket di Dirac, i vettori in questo spazio (stati quantistici) sono indicati come ket |ψ⟩ , e i loro duali come reggiseni ⟨φ| .
Il prodotto interno tra un reggiseno e una maglietta è un numero complesso, scritto come ⟨φ|ψ⟩ . Generalizza il classico prodotto scalare, soddisfacendo le proprietà di linearità, simmetria coniugata (⟨φ|ψ⟩ = ⟨ψ|φ⟩* ) e definitività positiva. Un operatore A agisce linearmente su un ket per produrre un nuovo ket:
A |ψ⟩ = |φ⟩
Poiché la sovrapposizione quantistica deve essere rigorosamente preservata, gli operatori quantistici sono strettamente lineari (con la notevole eccezione dell'operatore di inversione temporale, che è antilineare). La linearità fa sì che se un sistema si trova in una sovrapposizione di stati, l'operatore agisce sulla sovrapposizione esattamente come agirebbe sui singoli componenti:
A (α|ψ⟩ + β|φ⟩) = α(A|ψ⟩) + β(A|φ⟩)
Dove α e β sono ampiezze di probabilità complesse. La matematica degli spazi di Hilbert a dimensione infinita introduce profonde sottigliezze. Ad esempio, gli operatori possono essere limitati (la loro azione non allunga un vettore oltre un fattore finito) o illimitati. Gli operatori di posizione e quantità di moto sono illimitati, il che porta a problemi di dominio: non possono agire su ogni stato nello spazio di Hilbert senza produrre un risultato non normalizzabile. Ciò richiede un'analisi funzionale rigorosa per definire attentamente il dominio D(A) di ciascun operatore.
3. Il postulato dell'operatore osservabile
Il legame fondativo tra la matematica astratta degli spazi di Hilbert e la realtà empirica è racchiuso nella Postulato dell'operatore osservabile della meccanica quantistica. Si afferma:
Ogni grandezza fisica misurabile (osservabile) è rappresentata matematicamente da un operatore lineare, hermitiano (autoaggiunto) che agisce sullo spazio degli stati del sistema.
Questo postulato impone che quando uno sperimentalista misura una proprietà di un sistema – sia esso lo spin di un elettrone o il livello di energia di uno ione intrappolato – sta essenzialmente sondando le proprietà spettrali dell’operatore corrispondente. I possibili risultati di questa misurazione sono limitati esclusivamente al autovalori di quell'operatore.
Immediatamente dopo la misurazione, il sistema quantistico subisce un'evoluzione non unitaria nota come collasso della funzione d'onda, in cui il vettore di stato viene proiettato sul autostato corrispondente all'autovalore misurato. Questo duplice ruolo dell’operatore – fornire un menu di possibili risultati tramite il suo spettro e dettare lo stato post-misura tramite le sue autofunzioni – è il nucleo assoluto della teoria della misurazione quantistica.
4. Operatori hermitiani e autoaggiunti
Perché gli operatori osservabili devono essere hermitiani? Nella meccanica classica, le osservabili fisiche come la distanza, la massa e l'energia sono numeri strettamente reali. Per garantire che la nostra teoria quantistica produca risultati di misurazione con valore reale, gli operatori devono avere uno spettro puramente reale. La classe matematica di operatori che garantisce autovalori reali è la classe degli operatori hermitiani (o più rigorosamente autoaggiunti).
Un operatore A è definito hermitiano se è uguale al proprio aggiunto (o trasposizione coniugata), indicato matematicamente come A† = A . Nella meccanica delle matrici, ciò significa la matrice A è uguale alla trasposizione del suo complesso coniugato. Nella meccanica ondulatoria, utilizzando la notazione integrale, un operatore è hermitiano se soddisfa:
∫ ψ*(Aφ) dx = ∫ (Aψ)*φ dx
Per tutte le funzioni d'onda ψ e φ che sono integrabili al quadrato e si comportano bene ai confini.
La sfumatura: hermitiano vs. autoaggiunto
Sebbene spesso utilizzata in modo intercambiabile nella fisica universitaria, l'analisi funzionale distingue rigorosamente tra operatori hermitiani (simmetrici) e autoaggiunti in spazi a dimensione infinita. Un operatore simmetrico soddisfa ⟨ψ|Aφ⟩ = ⟨Aψ|φ⟩ per tutti gli stati nel suo dominio D(A) . Tuttavia, un operatore è veramente autoaggiunto solo se il dominio di A è esattamente uguale al dominio del suo aggiunto A† . Solo gli operatori veramente autoaggiunti sono garantiti dal Teorema spettrale per avere un insieme completo di autostati ortogonali, che è fisicamente richiesto per formare una base completa per gli stati quantistici.
5. Autovalori, autostati e misura
L'azione matematica di un operatore che estrae un valore specifico da uno stato è governata dall'equazione degli autovalori:
A |an ⟩ = unn |an ⟩
Qui, A è l'operatore che rappresenta l'osservabile, an è l'autovalore (un numero scalare reale che rappresenta il valore fisico misurato) e |an ⟩ è l'autostato (lo stato quantistico specifico associato al risultato della misurazione).
Il processo di misurazione nella meccanica quantistica si basa fortemente su questa struttura. Secondo Regola nata , se un sistema è in uno stato normalizzato arbitrario |ψ⟩ , la probabilità P(an ) di misurazione dell'autovalore an è dato dal modulo quadrato del prodotto interno tra lo stato e l'autostato:
P(an ) = |⟨an |ψ⟩|2
Gli operatori hermitiani possiedono una proprietà critica: i loro autostati corrispondenti a diversi autovalori sono matematicamente ortogonali (⟨am |an ⟩ = 0 per m ≠ n ). Inoltre, questi autostati formano una base completa . This means any arbitrary quantum state can be expressed as a linear combination (superposition) of the eigenstates of the operator:
|ψ⟩ = Σ cn |an ⟩
Where the coefficients cn = ⟨an |ψ⟩ are the probability amplitudes. This concept applies to both discrete spectra (like bound energy states in a hydrogen atom, requiring a summation) and continuous spectra (like the position of a free particle, requiring an integral).
6. Commutators and the Uncertainty Principle
Perhaps the most radical departure from classical physics arises when multiple operators are considered simultaneously. In classical mechanics, measuring the position of a particle does not affect its momentum; the observables "commute". In quantum mechanics, operators representing observables do not generally commute. The commutator of two operators A and B is defined as:
[A, B] = AB - BA
If [A, B] = 0 , the operators are said to commute. Physically, this means that the two observables can be measured simultaneously to arbitrary precision. They share a Complete Set of Commuting Observables (CSCO), meaning they share a common set of eigenstates.
However, if [A, B] ≠ 0 , the observables are incompatible. The most famous example is the canonical commutation relation between the position operator x and the operatore della quantità di moto p :
. [x, p] = iℏ
. Questa non commutatività non è una limitazione tecnologica dei dispositivi di misurazione; è una caratteristica fondamentale della natura. Porta direttamente al principio di incertezza generalizzato di Heisenberg (spesso chiamato disuguaglianza di Robertson-Schrödinger), che delimita matematicamente le deviazioni standard (incertezze) di due osservabili:
σA σB
Applying the position-momentum commutator to this inequality yields the famous result σx σp ≥ ℏ/2 . Similar uncertainty relations exist for any non-commuting pair, such as orthogonal spin components.
7. Position and Momentum Representations
The abstract vectors |ψ⟩ in Hilbert space are basis-independent, but to perform concrete calculations, physicists project these vectors into specific representations. The two most common continuous representations are position space and momentum space.
In the Position Representation , the quantum state is projected onto the position basis |x⟩ , yielding the familiar wave function: ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ . In this basis, the position operator X acts simply by multiplying the wave function by the variable x . To satisfy the canonical commutation relation [X, P] = iℏ , the momentum operator P must be represented as a differential operator:
P = -iℏ (d/dx)
Conversely, in the Momentum Representation , the state is projected onto the momentum basis |p⟩ , yielding a momentum-space wave function Φ(p) = ⟨p|ψ⟩ . La trasformazione tra spazio posizione e quantità di moto è governata dall'analisi di Fourier, i ruoli sono invertiti: l'operatore quantità di moto P agisce moltiplicando per p e l'operatore posizione X diventa una derivata rispetto alla quantità di moto:
.
Questa dualità illustra magnificamente come la scelta matematica della base modella la forma degli operatori lasciando la fisica sottostante rigorosamente invariante.
8. Operatori importanti nei sistemi fisici
Diversi operatori quantistici sono onnipresenti nella fisica moderna. Comprendere la loro struttura è vitale per comprendere il comportamento dei sistemi fisici.
L'operatore hamiltoniano (H): L'operatore più importante della meccanica quantistica, che rappresenta l'energia totale del sistema. Detta l'evoluzione temporale dello stato quantistico tramite l'equazione di Schrödinger. Per una singola particella in un potenziale V(x) , l'Hamiltoniano è H = (P2 / 2m) + V(X) , o nella rappresentazione di posizione: H = -(ℏ2 /2m)∇2 + V(x) .Momento angolare orbitale (L): Derivato dal classico prodotto incrociato L = r × p , l'operatore momento angolare quantistico ha componenti Lx , Ly , Lz che soddisfano l'algebra [Li , Lj ] = iℏεijk Lk . I suoi autostati sono le armoniche sferiche, fondamentali per comprendere gli orbitali elettronici atomici.Operatori di rotazione (S): A differenza del momento angolare orbitale, lo spin non ha un analogo classico. Rappresenta il momento angolare intrinseco. Per particelle con spin ½ come gli elettroni, gli operatori sono rappresentati dalle matrici di Pauli (σx , σy , σz ) moltiplicate per ℏ/2 . Queste matrici sono complesse 2x2, hermitiane e unitarie.Operatori di creazione e annientamento (a† , a): Centrale per l'oscillatore armonico quantistico e la teoria quantistica dei campi (QFT). Sono operatori non hermitiani. L'operatore di annichilazione abbassa lo stato energetico di un quanto (a|n⟩ = √n |n-1⟩ ), e l'operatore di creazione lo aumenta (a† |n⟩ = √(n+1) |n+1⟩ ). Il loro prodotto N = un† a forma l'operatore dei numeri hermitiani, che conta il numero di quanti (ad esempio, fotoni).Operatore di parità (Π): Un operatore di inversione spaziale che inverte il segno delle coordinate spaziali: Πψ(x) = ψ(-x) . I suoi autovalori sono strettamente +1 (parità pari) e -1 (parità dispari). Commuta con l'Hamiltoniano per potenziali simmetrici, portando alla conservazione della parità.
9. Immagini di Schrödinger, Heisenberg e Dirac
La meccanica quantistica offre "immagini" diverse e matematicamente equivalenti che spostano la dipendenza dal tempo tra stati e operatori.
Nel Immagine di Schrödinger , gli operatori che rappresentano le osservabili sono costanti nel tempo (a meno che non possiedano esplicita dipendenza dal tempo), mentre i vettori degli stati quantistici |ψ(t)⟩ evolvono dinamicamente secondo l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo.
Nel Immagine di Heisenberg , la situazione è perfettamente invertita. I vettori di stato sono congelati nel tempo (|ψ⟩ è costante), mentre gli operatori stessi evolvono. L'evoluzione temporale di un operatore A(t) è governato dall'equazione del moto di Heisenberg:
dA/dt = (i/ℏ)[H, A] + ∂A/∂t
Questa immagine evidenzia la profonda connessione tra la meccanica quantistica e la meccanica classica, poiché l'equazione di Heisenberg rispecchia in modo identico le equazioni del movimento classiche di Hamilton, sostituendo le parentesi di Poisson con commutatori quantistici moltiplicati per 1/(iℏ) .
Il Dirac (Interazione) Immagine è un approccio ibrido ampiamente utilizzato nella teoria quantistica dei campi e nella teoria delle perturbazioni. L'Hamiltoniana è divisa in una parte libera risolvibile H0 e una parte di interazione H' . Gli operatori evolvono secondo H0 , mentre gli stati evolvono lentamente secondo H' . Ciò consente ai fisici di calcolare sistematicamente le probabilità di transizione utilizzando strumenti come i diagrammi di Feynman.
10. Concetti avanzati: Matrici di densità e POVM
Mentre i vettori di stato e gli operatori hermitiani coprono la meccanica quantistica introduttiva, i sistemi del mondo reale che interagiscono con il loro ambiente richiedono formalismi di operatori avanzati.
Operatori di densità
Quando lo stato di un sistema non è perfettamente noto (un insieme statistico) o quando si analizza un sottosistema intrecciato con un ambiente, il sistema si trova in una situazione stato misto . Non può essere descritto da un singolo vettore ket. Invece, è descritto da Operatore di densità , ρ . L'operatore di densità è un operatore hermitiano, semidefinito positivo con traccia uguale a 1:
Tr(ρ) = 1
Per uno stato puro |ψ⟩ , l'operatore di densità è semplicemente l'operatore di proiezione ρ = |ψ⟩⟨ψ| . Per uno stato misto costituito da stati puri |ψi ⟩ con probabilità classiche pi , l'operatore è ρ = Σ pi |ψi ⟩⟨ψi | . Il valore atteso di un osservabile A nella matrice densità il formalismo è elegantemente dato dall'operazione traccia: ⟨A⟩ = Tr(ρA) .
POVM (misure positive per l'operatore)
Le misurazioni proiettive standard governate dagli operatori hermitiani sono idealizzazioni. Nella moderna teoria dell’informazione quantistica è richiesto un quadro di misurazione più generalizzato, noto come POVM. Un POVM è un insieme di operatori semidefiniti positivi {Ei } quella somma alla matrice identità (Σ Ei = I ). A differenza degli operatori di proiezione ortogonale standard, gli elementi POVM non devono essere reciprocamente ortogonali, consentendo loro di descrivere rilevatori rumorosi, discriminazione di stato ambigua e misurazioni che coinvolgono sistemi ausiliari.
11. Valori attesi ed evoluzione temporale
Poiché la meccanica quantistica è intrinsecamente probabilistica, una singola misurazione di un osservabile A su uno stato generico |ψ⟩ restituisce un autovalore casuale. Tuttavia, se si prepara un insieme di sistemi identici nello stato |ψ⟩ e misure A su tutti, la media statistica dei risultati è altamente deterministica. Questo è chiamato Valore atteso , indicato ⟨A⟩ :
⟨A⟩ = ⟨ψ| A |ψ⟩
Il comportamento dinamico di questo valore atteso nel tempo è governato dal Teorema di Ehrenfest, che afferma:
d⟨A⟩/dt = (1/iℏ) ⟨[A, H]⟩ + ⟨∂A/∂t⟩
Questo teorema fornisce il ponte verso il mondo macroscopico. Applicando il teorema di Ehrenfest agli operatori posizione e quantità di moto, si recuperano le leggi classiche di Newton (F = ma ) per i valori aspettati dei pacchetti d'onda, dimostrando il principio di corrispondenza: la fisica classica è il limite macroscopico degli operatori quantistici che agiscono su stati altamente localizzati.
12. Il Teorema Spettrale
L'intero edificio matematico che prevede l'utilizzo degli operatori come osservabili fisiche si basa su Teorema spettrale di analisi funzionale. Il teorema impone che per ogni operatore autoaggiunto A su uno spazio di Hilbert esiste una base ortonormale di autovettori di A . Ciò consente la costruzione di una risoluzione dell'identità (o relazione di completezza):
I = Σ |an ⟩⟨an |
Questa identità è probabilmente lo strumento più potente nell’algebra quantistica. Inserendo la matrice identità I in equazioni, i fisici possono trasformarsi senza soluzione di continuità tra basi diverse (ad esempio, dalla posizione allo spazio della quantità di moto) e decomporre stati complessi. Inoltre, il Teorema Spettrale permette di definire rigorosamente le funzioni degli operatori. Se un operatore ha la decomposizione spettrale A = Σan |an ⟩⟨an | , qualsiasi funzione f(A) dell'operatore si definisce applicando la funzione agli autovalori:
f(A) = Σ f(an ) |an ⟩⟨an |
Questo è esattamente il modo in cui l'operatore di evoluzione temporale U(t) = exp(-iHt/ℏ) è matematicamente costruito dall'Hamiltoniano.
13. Applicazioni nel mondo reale e verifiche sperimentali
Il formalismo dell'operatore astratto non è meramente filosofico; è il motore che alimenta la tecnologia moderna. Le previsioni verificabili generate dall'algebra degli operatori sono state confermate con straordinaria precisione.
L'esperimento Stern-Gerlach
La prova sperimentale fondamentale degli autovalori discreti e degli operatori non pendolari è l'esperimento Stern-Gerlach del 1922. Gli atomi d'argento che passano attraverso un campo magnetico disomogeneo vengono deviati non in una striscia continua (come prevederebbe il momento angolare classico), ma in due punti distinti e quantizzati. Ciò corrisponde perfettamente agli autovalori dello Spin-½ Sz operatore. Inoltre, facendo passare il raggio attraverso un sequenziale Sx l'analizzatore dimostra direttamente fisicamente la non commutazione [Sz , Sx ] ≠ 0 , poiché la misurazione dello spin x distrugge le informazioni sullo spin z precedentemente note.
Imaging a risonanza magnetica (MRI)
Le macchine per la risonanza magnetica medica si basano interamente sulla manipolazione degli operatori di rotazione nucleare. Un forte campo magnetico costante stabilisce un hamiltoniano che separa gli autostati di spin dei nuclei di idrogeno nel corpo umano (scissione di Zeeman). Gli impulsi a radiofrequenza applicano quindi un operatore unitario dipendente dal tempo per ruotare il vettore di stato (il valore atteso dell'operatore di magnetizzazione) lontano dall'equilibrio. Quando lo stato si rilassa nuovamente verso l'autostato terrestre, il segnale elettromagnetico risultante viene misurato per ricostruire un'immagine anatomica 3D.
Informatica quantistica e porte unitarie
Un computer quantistico sostituisce i bit classici con qubit e le porte logiche classiche con Operatori unitari . Una porta quantistica viene implementata fisicamente applicando una specifica hamiltoniana per una durata specifica, eseguendo l'operatore U = exp(-iHt/ℏ) . Algoritmi come l'algoritmo di fattorizzazione di Shor e l'algoritmo di ricerca di Grover sono fondamentalmente sequenze di matrici massicce di operatori unitari che agiscono su uno spazio di Hilbert multi-qubit. La sfida della costruzione dell’hardware quantistico è proprio quella di eseguire in modo impeccabile questi operatori matematici nel mondo fisico senza che la decoerenza distrugga la fragile sovrapposizione.
14. Idee sbagliate comuni
"Gli operatori sono solo matrici"
Correzione: Gli operatori sono trasformazioni lineari astratte su uno spazio vettoriale. Una matrice è semplicemente una rappresentazione numerica di un operatore in una base scelta arbitrariamente. Se cambi la base (ad esempio, da posizione a quantità di moto), la matrice cambia completamente, ma l'operatore astratto sottostante rimane identico. Inoltre, gli operatori con spettri continui (come la posizione) corrispondono a strutture continue innumerevoli e infinite, che non possono essere modellate da matrici discrete.
"Osservabili e operatori sono sinonimi"
Correzione: Sebbene profondamente collegato, un osservabile è una proprietà fisica e misurabile dell'universo (come l'energia cinetica). Un operatore è lo strumento matematico che usiamo per modellarlo su un pezzo di carta. Confondere i due è una abbreviazione comune, ma filosoficamente la mappa non è il territorio.
"Gli operatori non pendolari non possono MAI essere misurati simultaneamente"
Correzione: Il principio di indeterminazione di Heisenberg afferma che non possono essere misurati simultaneamente con precisione arbitraria per tutto stati. Tuttavia, due operatori non pendolari potrebbero occasionalmente condividere un autostato singolare e specifico. Se il sistema si trova in quello stato specifico, entrambi gli osservabili possono tecnicamente avere valori netti e precisi. Ma non condividono un completo base di autostati simultanei.
"Qualsiasi operatore hermitiano rappresenta un'osservabile fisicamente misurabile"
Correzione: Matematicamente, qualsiasi operatore autoaggiunto soddisfa il postulato. Fisicamente, non abbiamo idea di come costruire un dispositivo da laboratorio per misurare operatori matematici arbitrari, altamente complessi, costruiti artificialmente (come x15 p12 + sin(p) ). Solo un piccolo sottoinsieme di operatori corrisponde a osservabili praticamente accessibili nella realtà.
15. Domande frequenti
Qual è la differenza tra un operatore e uno scalare?
Uno scalare è un singolo numero (reale o complesso). Un operatore è una funzione matematica che prende un intero vettore (uno stato quantistico) come input e restituisce in output un nuovo vettore. Nelle equazioni algebriche, l'ordine in cui gli scalari vengono moltiplicati non ha importanza (ab = ba ), ma l'ordine degli operatori è fondamentale (AB ≠ BA ).
Perché l'operatore momento è immaginario?
L'operatore momento nello spazio delle posizioni è P = -iℏ(∂/∂x) . L'unità immaginaria i è necessaria per creare l'operatore Un derivato semplice ∂/∂x è anti-Hermitiano (i suoi autovalori sono puramente immaginari). -i ruota nuovamente gli autovalori sull'asse reale, garantendo che le misurazioni della quantità di moto producano numeri fisici reali.
Cosa significa per un operatore essere “Unitario”?
Mentre gli operatori hermitiani rappresentano osservabili, gli operatori unitari rappresentano trasformazioni (come rotazione, traslazione o evoluzione temporale). Un operatore U è unitario se il suo inverso è uguale al suo aggiunto (U† U = I ). Gli operatori unitari sono fondamentali perché preservano il prodotto interno e la normalizzazione della funzione d'onda, garantendo che la somma della probabilità totale sia sempre pari al 100%.
16. Fonti e approfondimenti
Von Neumann, John. Fondamenti matematici della meccanica quantistica . Princeton University Press, 1955. (Edizione originale tedesca: 1932) Dirac, Paul A. M. I principi della meccanica quantistica . 4a edizione, Oxford University Press, 1958. Sakurai, JJ e Jim Napolitano. Meccanica quantistica moderna . 2a ed., Cambridge University Press, 2017. Griffiths, David J. e Darrell F. Schroeter. Introduzione alla meccanica quantistica . 3a ed., Cambridge University Press, 2018. Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu e Franck Laloë. Meccanica Quantistica, Volume 1 . Wiley-VCH, 1991. Nielsen, Michael A. e Isaac L. Chuang. Calcolo quantistico e informazione quantistica . Ed. 10° anniversario, Cambridge University Press, 2010.