Legge di Coulomb
Legge di Coulomb. La legge di Coulomb quantifica la forza elettrostatica tra due cariche puntiformi nel vuoto, espressa come
Contesto teorico
\[
Descrizione matematica
\mathbf{F}=k_{\!\mathrm{e}}\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\hat{\mathbf r},
\]
dove \(q_{1}\) e \(q_{2}\) sono le cariche, \(r\) è la distanza di separazione, \(\hat{\mathbf r}\) è il vettore unitario da una carica all'altra e \(k_{\!\mathrm{e}}\!=\!1/(4\pi\epsilon_{\!0})\) è la costante di Coulomb. Nelle unità SI questa costante equivale a circa \(8,9875517873681764\times10^{9}\,\text{N·m}^2\text{/C}^2\). La legge prevede una forza repulsiva per cariche simili e una forza attrattiva per cariche diverse, e implica che la forza sia diretta radialmente lungo la linea che collega le cariche.
La dipendenza dall’inverso del quadrato della legge di Coulomb riflette l’espansione isotropa delle linee del campo elettrico da una sorgente puntiforme ed è matematicamente equivalente alla legge di Gauss per l’elettrostatica. In mezzi diversi dal vuoto, la costante \(k_{\!\mathrm{e}}\) viene modificata dalla permettività relativa \(\epsilon_{\!\mathrm{r}}\) del materiale, dando \(k_{\!\mathrm{e}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}\epsilon_{\!\mathrm{r}}}\). La verifica sperimentale, comprese le misurazioni delle forze tra cariche, fasci di elettroni e intrappolamento ottico, conferma la validità della legge su un’ampia gamma di scale. In situazioni dinamiche che coinvolgono velocità relativistiche, la forma semplice della legge di Coulomb lascia il posto alla descrizione completa del potenziale ritardato fornita dalle equazioni di Maxwell. Ciononostante, la legge di Coulomb rimane un principio fondamentale essenziale in campi che vanno dalla fisica e chimica atomica all’ingegneria elettrica e alla fisica del plasma.
Sovrapposizione di forze elettriche
Quando sono presenti più di due cariche, la forza netta su ciascuna carica è la somma vettoriale delle singole forze di Coulomb di ogni altra carica. Questo è principio di sovrapposizione. Per n cariche, la forza sulla carica q₁ dovuta alle cariche q₂, q₃, ..., qₙ è:
F₁ = Σᵢ kq₁qᵢ/rᵢ² r̂ᵢ
dove r̂ᵢ è il vettore unitario che punta dalla carica qᵢ alla carica q₁. La sovrapposizione consente di calcolare la forza da distribuzioni continue di carica integrando la legge di Coulomb sulla distribuzione.
Dalla legge di Coulomb alla legge di Gauss
La legge di Coulomb è l'equivalente elettrostatico della legge di gravitazione di Newton. La relazione dell'inverso del quadrato significa che il flusso elettrico totale attraverso qualsiasi superficie chiusa è uguale alla carica racchiusa divisa per ε₀ — questa è la legge di Gauss in forma integrale: ∮E·dA = Q_enc/ε₀. La legge di Gauss è una delle quattro equazioni di Maxwell ed è più generale della legge di Coulomb perché si applica anche quando le cariche sono in movimento.
Per le configurazioni ad alta simmetria (sferica, cilindrica, planare), la legge di Gauss è molto più facile da usare rispetto all'integrazione diretta della legge di Coulomb. Per una distribuzione di carica a simmetria sferica, il campo esterno è identico a quello di una carica puntiforme al centro.
Limiti sperimentali sulla legge dell'inverso del quadrato
La legge dell’inverso del quadrato è stata testata con straordinaria precisione. Esperimenti moderni limitano qualsiasi deviazione da r⁻² a meno di 10⁻¹⁶ volte la separazione, confermando che la massa a riposo del fotone è coerente con una precisione da zero ad elevata. Qualsiasi massa di fotone diversa da zero causerebbe una deviazione della legge di Coulomb, fornendo un potenziale di tipo Yukawa e^(−r/λ)/r invece di 1/r.
Esempio svolto: Forza tra due cariche
Due cariche puntiformi q₁ = +3 μC e q₂ = −5 μC sono separate da 0,2 m. Trova l'intensità e la direzione della forza.
F = k|q₁||q₂|/r² = 8,99×10⁹ × 3×10⁻⁶ × 5×10⁻⁶ / 0,04 = 8,99×10⁹ × 15×10⁻¹² / 0,04 ≈ 3,37 N. La forza è attrattiva (cariche opposte) lungo la linea che unisce le cariche.
Materiali dielettrici e legge di Coulomb
In un mezzo con permettività ε (anziché vuoto), la legge di Coulomb diventa F = q₁q₂/(4πεr²) = kq₁q₂/(εᵣr²), dove εᵣ = ε/ε₀ è la permettività relativa (costante dielettrica). L'acqua ha εᵣ ≈ 80 — la forza elettrica tra gli ioni nell'acqua è 80 volte più debole che nel vuoto, motivo per cui i sali si dissolvono facilmente: la forza elettrostatica ridotta non tiene più insieme il cristallo. Questo principio è alla base delle soluzioni elettrolitiche, dei potenziali di membrana in biologia e della progettazione dei condensatori.
Il concetto si estende alla polarizzazione: in un dielettrico, i campi elettrici esterni inducono momenti di dipolo nel materiale, schermando parzialmente il campo originale. La carica superficiale legata che appare è descritta dalla polarizzazione P, che porta al campo di spostamento D = ε₀E + P = εE.
Riepilogo delle equazioni chiave
Forza di Coulomb: F = kq₁q₂/r² — grandezza della forza elettrostatica tra cariche puntiformi. Costante di Coulomb: k = 1/(4πε₀) = 8,99×10⁹ N·m²/C². Nel mezzo: F = kq₁q₂/(εᵣr²) dove εᵣ è la permettività relativa. Campo elettrico da una carica puntiforme: E = kQ/r², diretto radialmente. Sovrapposizione: La forza o campo netto di più cariche è la somma vettoriale dei contributi individuali. Tutte queste sono conseguenze macroscopiche dell’elettrodinamica quantistica, che fornisce la descrizione più profonda delle interazioni elettrostatiche tramite lo scambio di fotoni tra particelle cariche.
Riferimenti e approfondimenti
- Griffiths, DJ Introduzione all'elettrodinamica, 4a ed. Cambridge University Press, 2017.
- Jackson, JD Elettrodinamica classica, 3a ed. Wiley, 1998.