Contenu
Introduction Indépendant du temps Perturbation dégénérée En fonction du temps La règle d'or de Fermi Applications Idées fausses FAQ Sources Introduction
La plupart des problèmes de mécanique quantique ne peuvent pas être résolus avec précision. La théorie des perturbations fournit des approximations systématiques lorsque l'hamiltonien peut être divisé en une partie soluble Ĥ₀ et une petite perturbation Ĥ' : Ĥ = Ĥ₀ + λĤ'. L'expansion des solutions en puissances de λ donne des corrections aux énergies, aux fonctions d'onde et aux probabilités de transition. Cette technique est la bête de somme de la physique atomique, de la physique nucléaire, de la matière condensée et de la théorie quantique des champs.
Théorie des perturbations indépendantes du temps
Pour un hamiltonien stationnaire Ĥ = Ĥ₀ + λĤ' avec des états propres connus |n⁰⟩ de Ĥ₀ avec des énergies En ⁰:
Énergie de premier ordre
En ⁽¹⁾ = ⟨n⁰|Ĥ'|n⁰⟩
Fonction d'onde du premier ordre
|n⁽¹⁾⟩ = Σm≠n [⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩ / (En ⁰ − Em ⁰)] |m⁰⟩
Énergie de second ordre
En ⁽²⁾ = Σm≠n |⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩|² / (En ⁰ − Em ⁰)
La série dans λ converge généralement pour λ suffisamment petit. Pour un λ grand, des méthodes alternatives sont nécessaires [1 ].
Théorie des perturbations dégénérées
Si |n⁰⟩ est dégénéré (plusieurs états avec le même En ⁰), les formules du premier ordre ont des dénominateurs nuls. La solution : diagonaliser la matrice de perturbation dans le sous-espace dégénéré. Les corrections d'énergies du premier ordre sont les valeurs propres de cette matrice ; les vecteurs propres correspondants sont les états d'ordre zéro appropriés.
Exemple : effet Stark
Un champ électrique perturbe l'hydrogène. Pour n = 2 (dégénéré 4 fois), la perturbation soulève la dégénérescence linéairement dans le champ – l’effet Stark linéaire, caractéristique de l’hydrogène. Pour les états non dégénérés, l’effet principal est quadratique.
Théorie des perturbations dépendantes du temps
Pour une perturbation Ĥ'(t) dépendante du temps, la probabilité de trouver le système dans l'état |m⟩ au temps t, étant donné qu'il a commencé dans |n⟩ :
Pn → m (t) = |(1/iℏ) ∫₀t ⟨m|Ĥ'(t')|n⟩ exp(iωmn t') dt'|²
où ωmn = (Em −En )/ℏ. Pour une perturbation harmonique, les transitions sont plus efficaces à la résonance (fréquence motrice = fréquence de transition).
La règle d'or de Fermi
Pour les transitions d'un état discret vers un continuum d'états de densité ρ(Ef ), le taux de transition par unité de temps :
Γje→f = (2π/ℏ) |⟨f|Ĥ'|i⟩|² ρ(Ef )
Nommée « la règle d'or de Fermi » par Fermi, qui l'a largement utilisée. C'est la bête de somme pour calculer les taux de désintégration, les sections efficaces de diffusion, les probabilités d'ionisation et tout processus impliquant des transitions vers un continuum.2 ].
Applications
Physique atomique : Effets Stark et Zeeman ; élargissement de la ligne ; taux d’émission spontanée.Physique nucléaire : Taux de désintégration bêta ; transitions nucléaires.Matière condensée : Diffusion électron-phonon ; résistivité électrique des impuretés.Physique des particules : Taux de désintégration, amplitudes de diffusion (les diagrammes de Feynman sont une expansion de perturbation).Chimie: Spectres moléculaires, vitesses de réaction. Idées fausses courantes
"La théorie des perturbations converge toujours"
Cela donne souvent des séries asymptotiques qui finissent par diverger. Pour QED, la série de perturbations est asymptotique, le reste asymptotique étant limité à de nombreuses fins pratiques.
"Les corrections d'ordre supérieur améliorent toujours la précision"
Pour les séries asymptotiques, seulement jusqu'à un certain ordre. Au-delà de l’ordre optimal, les conditions augmentent.
"La théorie des perturbations remplace les solutions exactes"
Non, il donne des solutions approximatives lorsque les solutions exactes ne sont pas disponibles. Là où des solutions exactes existent, elles sont préférables.
"La règle d'or de Fermi s'applique à toute transition"
Cela s'applique lorsque les états finaux forment un continuum et que la perturbation est faible. Pas pour les transitions discrètes ou les conduites intenses.
FAQ
Quel est le petit paramètre ?
Quoi qu'il en soit, la perturbation est faible par rapport à Ĥ₀. Pour l’effet Stark, l’intensité du champ électrique par rapport aux échelles du champ atomique. Pour QED, la constante de structure fine α ≈ 1/137.
Quand la théorie des perturbations échoue-t-elle ?
Les régimes de couplage forts (QCD sur réseau, appariement BCS, etc.) nécessitent des méthodes non perturbatives. Les résonances et les quasi-dégénérescences nécessitent une théorie des perturbations dégénérées.
Quel est le lien avec les diagrammes de Feynman ?
Les diagrammes de Feynman sont une représentation picturale des termes de la théorie des perturbations. Chaque diagramme correspond à un terme du développement de perturbation de la matrice S.
Quel est le lien entre la théorie des perturbations et les méthodes numériques ?
Pour les petites perturbations, l’expansion analytique est plus rapide que la numérique. Pour les perturbations importantes, la diagonalisation numérique directe est souvent plus simple et plus précise.
Sources
Sakurai, JJ, Napolitano, J. (2017). Mécanique quantique moderne , 2e éd.
Fermi, E. (1950). Physique Nucléaire . Presses de l'Université de Chicago.
Griffiths, DJ (2018). Introduction à la mécanique quantique , 3e éd.
Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1977). Mécanique quantique . Wiley.