Sommaire
Présentation La méthode Points tournants Quantification à l'état lié Tunneling Idées fausses FAQ Sources Présentation
L'approximation de Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB), développée en 1926 par trois physiciens travaillant indépendamment, donne une solution semi-classique de l'équation de Schrödinger pour des potentiels variant lentement. Il relie la mécanique quantique et classique, fournissant des approximations analytiques des énergies des états liés, des taux de tunneling et des phases de diffusion. WKB est l'une des techniques les plus utilisées en mécanique quantique.
La méthode
Écrivez la fonction d'onde sous la forme ψ(x) = exp(iS(x)/ℏ) et développez S en puissances de ℏ :
S = S₀ + ℏS₁ + ℏ²S₂ + ...
La substitution dans l'équation de Schrödinger et le maintien des ordres principaux donnent :
ψ(x) ≈ (1/√p(x)) exp(±(i/ℏ)∫p(x')dx')
où p(x) = √(2m(E−V(x))) est l'impulsion classique. Valable lorsque le potentiel varie lentement par rapport à la longueur d'onde locale de Broglie [1 ].
Validité
L'approximation WKB est bonne lorsque |dλ/dx| ≪ 1, où λ = 2πℏ/p est la longueur d'onde locale de Broglie. Il s'effondre à proximité des tournants classiques où p → 0.
Points tournants
Aux tournants classiques (E = V), p = 0 et la formule WKB a une singularité. Des « formules de connexion » spéciales (fonctions d'Airy) gèrent la transition entre la région oscillatoire (E > V) et la région à décroissance exponentielle (E < V).
La connexion standard : dans la région classiquement autorisée, ψ ∼ cos(∫p dx/ℏ − π/4). Dans la région interdite, ψ ∼ exp(−∫|p| dx/ℏ). Le déphasage −π/4 provient de l'asymptotique de la fonction Airy [2 ].
Quantification à l'état lié
Pour un état lié avec deux points tournants x₁ et x₂, la condition de quantification WKB (Bohr-Sommerfeld) est :
∫x₁ x₂ p(x) dx = (n + 1/2)πℏ
où n = 0, 1, 2, ... est le nombre quantique. Cela généralise l'ancienne condition de quantification de Bohr avec une correction de moitié par rapport à l'indice de Maslov (chaque point d'inflexion contribue à une perte de phase π/2).
Exemples
Oscillateur harmonique : WKB donne le résultat exact En = ℏω(n + 1/2).
Hydrogène : WKB donne la formule de Rydberg correcte (en faisant attention au terme centrifuge du moment cinétique).
Potentiels anharmoniques : WKB donne des niveaux d’énergie étonnamment précis pour les nombres quantiques modérés à élevés.
Tunneling
Le coefficient de transmission WKB à travers une barrière est :
T ≈ exp[−(2/ℏ)∫x₁ x₂ √(2m(V(x)−E))dx]
Il s’agit de la formule standard pour la probabilité de tunneling. Utilisé dans :
Désintégration alpha (Gamow 1928).
Fusion d'étoiles (pic Gamow).
Microscopie à effet tunnel.
Taux d'ionisation des champs dans des champs électriques puissants.
Désintégration du vide dans la théorie des champs.
Consultez l’article dédié au tunneling quantique pour plus de détails.
Idées fausses courantes
"WKB est exact"
C'est une approximation, exacte uniquement dans la limite ℏ → 0. Pour certains potentiels particuliers (oscillateur harmonique), WKB donne des réponses exactes, mais il y a généralement des corrections.
"WKB fonctionne toujours pour n'importe quel potentiel"
Il échoue à proximité des points tournants (gérés par les fonctions Airy) et pour des potentiels très variables. Les potentiels lisses sont les meilleurs.
"WKB n'est qu'une approximation"
C'est fondamental. L'approximation principale peut être systématiquement étendue ; la reprise donne des résultats encore plus précis. Les techniques WKB se généralisent aux problèmes multidimensionnels et à la théorie des champs.
"WKB donne de la mécanique classique"
Il relie le quantique et le classique, apportant des corrections quantiques de premier plan aux résultats classiques. La limite ℏ → 0 récupère la mécanique classique ; des ordres supérieurs donnent des corrections quantiques.
FAQ
Qui est « W », « K », « B » ?
Wentzel, Kramers, Brillouin — trois physiciens qui ont développé la méthode en 1926. Parfois appelée « JWKB », y compris Jeffreys, qui a développé plus tôt des méthodes similaires pour les équations différentielles.
Quelle est la précision du WKB pour l’oscillateur harmonique ?
Exact! WKB donne En = ℏω(n + 1/2) — identique à la solution exacte de Schrödinger. C'est une coïncidence (ou plutôt cela reflète la structure particulière de l'oscillateur).
Qu'est-ce que l'indice Maslov ?
Une correction topologique de la phase WKB comptant les tournants. Chaque point de retournement doux contribue à la phase π/2. Le 1/2 dans la formule de Bohr-Sommerfeld provient de deux points tournants contribuant au total π.
WKB peut-il gérer des problèmes multidimensionnels ?
Oui, le WKB multidimensionnel a une structure riche (caustiques, points focaux). La « théorie de Maslov-Arnold » généralise l'indice de Maslov 1D.
Sources
Griffiths, DJ (2018). Introduction à la mécanique quantique , 3e éd.
Bender, CM, Orszag, SA (1999). Méthodes mathématiques avancées pour les scientifiques et les ingénieurs . Springer.
Sakurai, JJ, Napolitano, J. (2017). Mécanique quantique moderne , 2e éd.
Kramers, HA (1926). "Wellenmechanik et halbzahlige Quantisierung." Zeitschrift für Physique , 39(10-11), 828–840.