Sommaire
Présentation La configuration Nombres quantiques Niveaux d'énergie Fonctions d'onde Structure fine Fractionnement hyperfin Le changement d'agneau Idées fausses FAQ Sources Présentation
L’atome d’hydrogène – un proton et un électron – constitue le banc d’essai le plus propre de la mécanique quantique. Son équation de Schrödinger peut être résolue avec précision, donnant la célèbre formule de Rydberg pour les raies spectrales et un ensemble complet d'états propres d'énergie étiquetés par des nombres quantiques (n, ℓ, m, ms ). L'accord entre théorie et expérience est extraordinaire ; les raffinements grâce à la structure fine, à la division hyperfine, au décalage de Lamb et aux corrections QED se poursuivent aujourd'hui au niveau des parties par billion.
Cet article passe en revue la solution standard de mécanique quantique, les nombres quantiques, les fonctions d'onde et les petites corrections qui transforment un accord approximatif en accord de précision avec l'expérience.
La configuration
Un électron de masse m et de charge −e se déplace dans le potentiel coulombien V(r) = −e²/(4πε₀r) d'un proton. En traitant le proton comme infiniment lourd (une bonne première approximation), l'équation de Schrödinger devient :
[−(ℏ²/2m)∇² − e²/(4πε₀r)] ψ = Eψ
La symétrie sphérique permet la séparation des variables : ψ(r,θ,φ) = R(r)Yℓm (θ,φ), où Ouiℓm sont des harmoniques sphériques. L'équation radiale a des solutions analytiques en termes de polynômes de Laguerre associés [1 ].
Nombres quantiques
Chaque état est caractérisé par quatre nombres quantiques :
n (principal) : 1, 2, 3, ... Détermine l'énergie.ℓ (moment cinétique orbital) : 0, 1, ..., n−1.m (magnétique) : −ℓ, −ℓ+1, ..., ℓ.ms (essorage) : ±½.
Notations
ℓ = 0 est appelé s, ℓ = 1 est p, ℓ = 2 est d, ℓ = 3 est f. Donc 1s vaut n=1, ℓ=0 ; 2p vaut n=2, ℓ=1 ; etc. La dégénérescence du niveau d'énergie n (en ignorant le spin) est n² (de ℓ = 0 à n−1 avec 2ℓ+1 m valeurs chacune).
Niveaux d'énergie
Les énergies des états liés sont :
En = −13,6 eV/n²
ou plus précisément, En = −me e⁴/(8ε₀²h²n²) = −RH /n², avec RH = 13,605693 eV (l'énergie de Rydberg).
La formule Rydberg
Les transitions entre niveaux émettent ou absorbent des photons avec des fréquences :
ν = R[1/nf ² − 1/ni ²]
Ceci reproduit la série spectrale d'hydrogène Lyman, Balmer, Paschen, Brackett et Pfund. Le premier grand succès de Schrödinger en 1926 fut de dériver cette formule de son équation [2 ].
Énergie d'ionisation
Retirer l’électron de l’état fondamental (n = 1) nécessite 13,6 eV – l’énergie d’ionisation de l’hydrogène, mesurée avec précision et correspondant à la théorie avec de nombreuses décimales.
Fonctions d'onde
Les fonctions d'onde complète sont des produits de parties radiales et angulaires :
ψnℓm (r, θ, φ) = Rnℓ (r) Oℓm (θ, φ)
État fondamental (1s)
ψ100 = (1/√π) (1/a₀)^(3/2) e^(−r/a₀), avec a₀ = 4πε₀ℏ²/(me e²) = 5,29 × 10⁻¹¹ m, le rayon de Bohr. Sphériquement symétrique ; désintégration exponentielle du noyau.
2s et 2p
2s a un nœud radial. 2p a des nœuds angulaires (les trois orbitales p pointent selon x, y, z, avec des lobes de signe opposé).
N supérieur
Pour n plus grand, ℓ, plus de nœuds et une structure angulaire plus complexe. Les formes orbitales (s sphérique, p haltère, d à quatre lobes, f à huit lobes) sont standards en chimie.
Structure fine
La solution simple de Schrödinger ignore les effets relativistes. Leur inclusion donne la "structure fine" - de petites divisions des niveaux d'énergie [3 ].
Trois corrections
Correction d'énergie cinétique relativiste : T = p²/2m + p⁴/(8m³c²) + ...
Interaction spin-orbite : le spin de l'électron se couple à son mouvement orbital dans le champ du proton.
Terme de Darwin : une correction relativiste concentrée à l'origine.
Les trois corrections sont d'ordre α² × En , où α ≈ 1/137 est la constante de structure fine. Combinés, ils déplacent les niveaux d’énergie dans des proportions qui éliminent certaines dégénérescences et produisent la structure multiplet observée.
Moment angulaire total
La structure fine mélange les états avec le même moment cinétique total j = ℓ ± ½. Les états sont étiquetés par n, ℓ, j (et mj ). Le niveau 2p se divise en 2p½ et 2p3/2 .
Fractionnement hyperfin
Le proton a son propre spin et son propre moment magnétique. L'interaction entre le moment magnétique électronique et le moment magnétique protonique divise davantage les niveaux - la structure hyperfine [4 ].
La Ligne 21 cm
L’état fondamental de l’hydrogène se divise en deux par l’interaction hyperfine. La différence d'énergie correspond à une transition à 1420 MHz, soit longueur d'onde 21 cm. Il s'agit de la fameuse « ligne de 21 cm » utilisée en radioastronomie pour cartographier l'hydrogène atomique dans toute la Voie lactée et au-delà.
Échelle de division hyperfine
Les corrections hyperfines sont de l'ordre (me /mp ) α² × En , plus petit que la structure fine par le rapport de masse électron/proton (~ 10⁻³). Pour l'état fondamental de l'hydrogène, la division est d'environ 6 × 10⁻⁶ eV.
Le changement d'agneau
En 1947, Willis Lamb mesura une petite différence d'énergie entre les 2½ et 2p½ états de l'hydrogène que l'équation de Dirac prévoyait comme étant dégénérés [5 ]. La division (~ 1057 MHz) est le Changement d'agneau .
Le changement vient de l’électrodynamique quantique, plus précisément de l’interaction de l’électron avec les fluctuations du vide du champ électromagnétique. Bethe (1947) a donné un calcul non relativiste [6 ]; Le QED moderne calcule le passage aux pièces avec une précision de 10⁹.
Le changement de Lamb a été un triomphe majeur de l’électrodynamique quantique. Lamb a remporté le prix Nobel de 1955 pour cette mesure ; Bethe, Tomonaga, Schwinger et Feynman se sont partagés divers prix pour le cadre théorique.
Idées fausses courantes
"L'équation de Schrödinger donne toute la physique de l'hydrogène"
Cela donne la structure brute. La structure fine, l'hyperfine et le décalage de Lamb nécessitent un QED relativiste.
"Les électrons tournent en cercle autour du noyau"
L'ancien modèle de Bohr. L’image quantique présente des électrons sur des orbitales – des distributions de probabilité, et non des chemins classiques.
"Les niveaux d'énergie sont déterminés par n seul"
Pour l'équation de Schrödinger non relativiste, oui. Avec les corrections relativistes, l'énergie dépend à la fois de n et de j (et légèrement de ℓ via les corrections QED).
"La ligne de 21 cm est une oscillation de longueur d'onde de 21 cm de l'atome"
C'est la longueur d'onde du photon émis lors de la transition hyperfine. L’atome lui-même est beaucoup plus petit (~angström).
FAQ
Pourquoi la formule de Rydberg est-elle si précise ?
Parce que le potentiel coulombien donne un problème exactement résoluble en QM non relativiste. Les petites corrections de la relativité, les effets de vide et l’effet de masse réduite sont toutes calculables et infimes.
Quelle est la taille d'un atome d'hydrogène ?
Le rayon de Bohr a₀ = 5,29 × 10⁻¹¹ m est l'échelle caractéristique. L'orbitale 1s a ⟨r⟩ = 1,5 a₀. Les États supérieurs sont plus grands ; le n-ième état a ⟨r⟩ ~ n²a₀.
Comment le spectre de l’hydrogène est-il mesuré aujourd’hui ?
Avec les peignes de fréquence, la spectroscopie de précision atteint des parties par 10¹⁵ dans la transition 1s-2s. Le spectre de l’hydrogène est le spectre atomique mesuré le plus précisément.
C'est quoi le casse-tête du rayon des protons ?
Les mesures de l'hydrogène muonique ont donné un rayon de proton légèrement différent des mesures électroniques. L'écart est maintenant résolu grâce à une meilleure théorie et des expériences supplémentaires [7 ].
Existe-t-il des états liés avec un ℓ négatif ?
Non — ℓ ≥ 0 est requis par la géométrie. Le nombre quantique principal n = ℓ + 1 + nr , où nr ≥ 0 est le nombre quantique radial.
Sources
Griffiths, DJ (2018). Introduction à la mécanique quantique , 3e éd.
Schrödinger, E. (1926). "Quantisation du problème propre." Annales de la physique .
Bethe, HA, Salpeter, EE (1957). Mécanique quantique des atomes à un et deux électrons . Springer.
Bethe, HA, Salpeter, EE (1957). Op. cit.
Lamb, WE, Retherford, RC (1947). "Structure fine de l'atome d'hydrogène par une méthode micro-ondes." Examen physique , 72(3), 241.
Bethe, HA (1947). "Le changement électromagnétique des niveaux d'énergie." Examen physique , 72(4), 339.
Antognini, A., et al. (2013). "Structure des protons issue de la mesure des fréquences de transition 2S-2P de l'hydrogène muonique." Sciences , 339(6118), 417–420.