Table des matières
Introduction et contexte historique Fondements mathématiques : espaces de Hilbert Le postulat de l'opérateur observable Opérateurs hermitiens et auto-adjoints Valeurs propres, états propres et mesure Commutateurs et principe d'incertitude Représentations de position et d'élan Opérateurs importants dans les systèmes physiques Schrödinger, Heisenberg et Dirac Photos Concepts avancés : matrices de densité et POVM Valeurs attendues et évolution temporelle Le théorème spectral Applications réelles et vérifications expérimentales Idées fausses courantes FAQ Sources et lectures complémentaires
1. Introduction et contexte historique
Dans la vaste architecture abstraite de la mécanique quantique, les observables physiques (quantités mesurables en laboratoire, telles que l’énergie, l’impulsion, la position, le moment cinétique et la rotation) ne sont pas de simples valeurs numériques statiques. Au lieu de cela, ils sont représentés par des mathématiques. opérateurs agissant sur la fonction d'onde du système. Un opérateur transforme un état quantique en un autre, et ses propriétés mathématiques dictent l’intégralité de ce qui peut être connu, mesuré et prédit sur un système physique.
La genèse historique de ce formalisme remonte au milieu des années 1920. En 1925, Werner Heisenberg, Max Born et Pascual Jordan formulent Mécanique matricielle , le premier cadre conceptuel complet de la théorie quantique. Dans leur théorie, les observables physiques étaient représentés par des matrices de dimension infinie qui ne commutaient pas nécessairement, ce qui signifiait que l'ordre de multiplication importait, ce qui s'écartait profondément de la physique classique. À peine un an plus tard, Erwin Schrödinger formulait Mécanique des vagues , représentant les états comme des fonctions d'onde continue régies par une équation différentielle.
Bien qu'apparemment disparates, ces deux formulations furent rapidement prouvées mathématiquement équivalentes par Schrödinger lui-même, puis rigoureusement formalisées par John von Neumann dans son chef-d'œuvre de 1932 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Von Neumann a introduit le concept d'espace de Hilbert en physique, montrant que les matrices de Heisenberg et les opérateurs différentiels de Schrödinger étaient simplement des représentations différentes des mêmes entités mathématiques abstraites : opérateurs linéaires agissant sur un espace de Hilbert . Ce formalisme d’opérateur unifié reste aujourd’hui le fondement de la théorie quantique moderne.
2. Fondements mathématiques : espaces de Hilbert
Pour comprendre en profondeur les opérateurs quantiques, il faut d’abord comprendre l’espace dans lequel ils opèrent : l’espace de Hilbert, généralement désigné par H . Un espace de Hilbert est un espace vectoriel complet équipé d'un produit scalaire. Dans la notation bra-ket de Dirac, les vecteurs dans cet espace (états quantiques) sont notés kets |ψ⟩ , et leurs duels comme soutiens-gorge ⟨φ| .
Le produit scalaire entre un soutien-gorge et un ket est un nombre complexe, écrit ⟨φ|ψ⟩ . Il généralise le produit scalaire classique, satisfaisant les propriétés de linéarité, de symétrie conjuguée (⟨φ|ψ⟩ = ⟨ψ|φ⟩* ) et de définition positive. Un opérateur A agit linéairement sur un ket pour produire un nouveau ket :
UNE |ψ⟩ = |φ⟩
Parce que la superposition quantique doit être strictement préservée, les opérateurs quantiques sont strictement linéaires (à l'exception notable de l'opérateur d'inversion du temps, qui est anti-linéaire). La linéarité garantit que si un système est dans une superposition d'états, l'opérateur agit sur la superposition exactement comme il agirait sur les composants individuels :
UNE (α|ψ⟩ + β|φ⟩) = α(UNE|ψ⟩) + β(UNE|φ⟩)
Où α et β sont des amplitudes de probabilité complexes. Les mathématiques des espaces de Hilbert de dimension infinie introduisent de profondes subtilités. Par exemple, les opérateurs peuvent être limités (leur action n’étend pas un vecteur au-delà d’un facteur fini) ou illimités. Les opérateurs de position et de moment sont illimités, ce qui entraîne des problèmes de domaine : ils ne peuvent pas agir sur tous les états de l'espace de Hilbert sans produire un résultat non normalisable. Cela nécessite une analyse fonctionnelle rigoureuse pour définir soigneusement le domaine D(UNE) de chaque opérateur.
3. Le postulat de l'opérateur observable
Le lien fondamental entre les mathématiques abstraites des espaces de Hilbert et la réalité empirique est résumé dans le Postulat d'opérateur observable de la mécanique quantique. Il indique :
Chaque quantité physique mesurable (observable) est mathématiquement représentée par un opérateur linéaire, hermitien (auto-adjoint) agissant sur l'espace d'état du système.
Ce postulat veut que lorsqu’un expérimentateur mesure une propriété d’un système – qu’il s’agisse du spin d’un électron ou du niveau d’énergie d’un ion piégé – il sonde essentiellement les propriétés spectrales de l’opérateur correspondant. Les résultats possibles de cette mesure sont exclusivement limités au valeurs propres de cet opérateur.
Immédiatement après la mesure, le système quantique subit une évolution non unitaire connue sous le nom d'effondrement de la fonction d'onde, dans laquelle le vecteur d'état est projeté sur le état propre correspondant à la valeur propre mesurée. Ce double rôle de l’opérateur – fournir un menu de résultats possibles via son spectre et dicter l’état post-mesure via ses fonctions propres – est au cœur absolu de la théorie de la mesure quantique.
4. Opérateurs hermitiens et auto-adjoints
Pourquoi les opérateurs observables doivent-ils être hermitiens ? En mécanique classique, les observables physiques comme la distance, la masse et l’énergie sont des nombres strictement réels. Pour garantir que notre théorie quantique donne des résultats de mesure réels, les opérateurs doivent disposer d’un spectre purement réel. La classe mathématique des opérateurs qui garantit les valeurs propres réelles est la classe des opérateurs hermitiens (ou plus rigoureusement, auto-adjoints).
Un opérateur A est défini comme hermitien s'il est égal à son propre adjoint (ou transposé conjugué), noté mathématiquement A† = UNE . En mécanique matricielle, cela signifie la matrice A est égal à la transposée de son conjugué complexe. En mécanique ondulatoire, en utilisant la notation intégrale, un opérateur est hermitien s'il satisfait :
∫ ψ*(Aφ) dx = ∫ (Aψ)*φ dx
Pour toutes les fonctions d'onde ψ et φ qui sont carrément intégrables et qui se comportent bien aux frontières.
La nuance : hermitien contre auto-adjoint
Bien qu'elle soit souvent utilisée de manière interchangeable en physique de premier cycle, l'analyse fonctionnelle différencie strictement les opérateurs hermitiens (symétriques) et auto-adjoints dans les espaces de dimension infinie. Un opérateur symétrique satisfait ⟨ψ|Aφ⟩ = ⟨Aψ|φ⟩ pour tous les États de son domaine D(UNE) . Cependant, un opérateur n’est véritablement auto-adjoint que si le domaine de A est exactement égal au domaine de son adjoint A† . Seuls les opérateurs véritablement auto-adjoints sont garantis par le théorème spectral d'avoir un ensemble complet d'états propres orthogonaux, qui est physiquement requis pour former une base complète pour les états quantiques.
5. Valeurs propres, états propres et mesure
L'action mathématique d'un opérateur extrayant une valeur spécifique d'un état est régie par l'équation aux valeurs propres :
Une |unen ⟩ = unn |an ⟩
Ici, A is the operator representing the observable, an is the eigenvalue (a real scalar number representing the measured physical value), and |an ⟩ is the eigenstate (the specific quantum state associated with that measurement outcome).
The measurement process in quantum mechanics relies heavily on this structure. According to the Born Rule , if a system is in an arbitrary normalized state |ψ⟩ , the probability P(an ) of measuring the eigenvalue an is given by the squared modulus of the inner product between the state and the eigenstate:
P(an ) = |⟨an |ψ⟩|2
Hermitian operators possess a critical property: their eigenstates corresponding to different eigenvalues are mathematically orthogonal (⟨am |an ⟩ = 0 for m ≠ n ). Furthermore, these eigenstates form a complete basis . This means any arbitrary quantum state can be expressed as a linear combination (superposition) of the eigenstates of the operator:
|ψ⟩ = Σ cn |an ⟩
Where the coefficients cn = ⟨an |ψ⟩ are the probability amplitudes. This concept applies to both discrete spectra (like bound energy states in a hydrogen atom, requiring a summation) and continuous spectra (like the position of a free particle, requiring an integral).
6. Commutators and the Uncertainty Principle
Perhaps the most radical departure from classical physics arises when multiple operators are considered simultaneously. In classical mechanics, measuring the position of a particle does not affect its momentum; the observables "commute". In quantum mechanics, operators representing observables do not generally commute. The commutator of two operators A and B is defined as:
[A, B] = AB - BA
If [A, B] = 0 , the operators are said to commute. Physically, this means that the two observables can be measured simultaneously to arbitrary precision. They share a Complete Set of Commuting Observables (CSCO), meaning they share a common set of eigenstates.
However, if [A, B] ≠ 0 , the observables are incompatible. The most famous example is the canonical commutation relation between the position operator x and the momentum operator p :
[x, p] = iℏ
This non-commutativity is not a technological limitation of measurement devices; it is a fundamental feature of nature. It directly leads to the Generalized Heisenberg Uncertainty Principle (often called the Robertson-Schrödinger inequality), which mathematically bounds the standard deviations (uncertainties) of two observables:
σA σB ≥ ½ |⟨[A, B]⟩|
Applying the position-momentum commutator to this inequality yields the famous result σx σp ≥ ℏ/2 . Similar uncertainty relations exist for any non-commuting pair, such as orthogonal spin components.
7. Position and Momentum Representations
The abstract vectors |ψ⟩ in Hilbert space are basis-independent, but to perform concrete calculations, physicists project these vectors into specific representations. The two most common continuous representations are position space and momentum space.
In the Position Representation , the quantum state is projected onto the position basis |x⟩ , yielding the familiar wave function: ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ . In this basis, the position operator X acts simply by multiplying the wave function by the variable x . To satisfy the canonical commutation relation [X, P] = iℏ , the momentum operator P must be represented as a differential operator:
P = -iℏ (d/dx)
Conversely, in the Momentum Representation , the state is projected onto the momentum basis |p⟩ , yielding a momentum-space wave function Φ(p) = ⟨p|ψ⟩ . The transformation between position and momentum space is governed by Fourier analysis. In this representation, the roles are reversed: the momentum operator P acts by multiplying by p , and the position operator X becomes a derivative with respect to momentum:
X = iℏ (d/dp)
Cette dualité illustre magnifiquement comment le choix mathématique de la base façonne la forme des opérateurs tout en laissant la physique sous-jacente strictement invariante.
8. Opérateurs importants dans les systèmes physiques
Plusieurs opérateurs quantiques sont omniprésents dans la physique moderne. Comprendre leur structure est essentiel pour comprendre le comportement des systèmes physiques.
L'opérateur hamiltonien (H) : L'opérateur le plus important de la mécanique quantique, représentant l'énergie totale du système. Il dicte l'évolution temporelle de l'état quantique via l'équation de Schrödinger. Pour une seule particule dans un potentiel V(x) , l'hamiltonien est H = (P2 / 2m) + V(X) , ou en représentation de position : H = -(ℏ2 /2m)∇2 + V(x) .Moment angulaire orbital (L) : Dérivé du produit vectoriel classique L = r × p , l'opérateur de moment cinétique quantique a des composants Lx , Ly , Lz qui satisfont l'algèbre [Li , Lj ] = jeℏεje Lk . Ses états propres sont les harmoniques sphériques, essentielles à la compréhension des orbitales électroniques atomiques.Opérateurs de rotation (S) : Contrairement au moment cinétique orbital, le spin n’a pas d’analogue classique. Il représente le moment cinétique intrinsèque. Pour les particules de spin ½ comme les électrons, les opérateurs sont représentés par les matrices de Pauli (σx , σy , σz ) multipliées par ℏ/2 . Ces matrices sont complexes 2x2, hermitiennes et unitaires.Opérateurs de création et d'annihilation (a† , a) : Au cœur de l'oscillateur harmonique quantique et de la théorie quantique des champs (QFT). Ce sont des opérateurs non hermitiens. L'opérateur d'annihilation abaisse l'état énergétique d'un quantum (a|n⟩ = √n |n-1⟩ ), et l'opérateur de création l'augmente (a† |n⟩ = √(n+1) |n+1⟩ ). Leur produit N = une† a forme l'opérateur de nombre hermitien, qui compte le nombre de quanta (par exemple, les photons).Opérateur de parité (Π) : Un opérateur d'inversion spatiale qui inverse le signe des coordonnées spatiales : Π ψ(x) = ψ(-x) . Ses valeurs propres sont strictement +1 (parité paire) et -1 (parité impaire). Il fait la navette avec l'hamiltonien pour les potentiels symétriques, conduisant à la conservation de la parité.
9. Photos de Schrödinger, Heisenberg et Dirac
La mécanique quantique offre différentes « images » mathématiquement équivalentes qui modifient la dépendance temporelle entre les états et les opérateurs.
Dans le Image de Schrödinger , les opérateurs représentant les observables sont constants dans le temps (sauf s'ils possèdent une dépendance temporelle explicite), tandis que les vecteurs d'état quantique |ψ(t)⟩ évoluent dynamiquement selon l’équation de Schrödinger dépendant du temps.
Dans le Photo de Heisenberg , la situation est parfaitement inversée. Les vecteurs d'état sont figés dans le temps (|ψ⟩ est constant), tandis que les opérateurs eux-mêmes évoluent. L'évolution temporelle d'un opérateur UNE(t) est régi par l'équation de mouvement de Heisenberg :
dA/dt = (i/ℏ)[H, A] + ∂A/∂t
Cette image met en évidence le lien profond entre la mécanique quantique et la mécanique classique, car l'équation de Heisenberg reflète à l'identique les équations du mouvement de Hamilton classiques, remplaçant les parenthèses de Poisson par des commutateurs quantiques multipliés par 1/(iℏ) .
Le Dirac (Interaction) Image est une approche hybride largement utilisée dans la théorie quantique des champs et la théorie des perturbations. L'Hamiltonien est divisé en une partie libre résoluble H0 et une partie d'interaction H' . Les opérateurs évoluent selon H0 , tandis que les états évoluent lentement selon H' . Cela permet aux physiciens de calculer systématiquement les probabilités de transition à l'aide d'outils tels que les diagrammes de Feynman.
10. Concepts avancés : matrices de densité et POVM
Alors que les vecteurs d'état et les opérateurs hermitiens couvrent l'introduction à la mécanique quantique, les systèmes du monde réel interagissant avec leur environnement nécessitent des formalismes d'opérateurs avancés.
Opérateurs de densité
Lorsque l'état d'un système n'est pas parfaitement connu (un ensemble statistique) ou lors de l'analyse d'un sous-système intriqué à un environnement, le système est dans un état mixte . Il ne peut pas être décrit par un seul vecteur ket. Au lieu de cela, il est décrit par un Opérateur de densité , ρ . L'opérateur de densité est un opérateur hermitien semi-défini positif avec une trace égale à 1 :
Tr(ρ) = 1
Pour un état pur |ψ⟩ , l'opérateur de densité est simplement l'opérateur de projection ρ = |ψ⟩⟨ψ| . Pour un état mixte composé d’états purs |ψi ⟩ avec probabilités classiques pi , l'opérateur est ρ = Σ pi |ψi ⟩⟨ψi | . La valeur attendue d'un observable A dans la matrice de densité, le formalisme est élégamment donné par l'opération de trace : ⟨A⟩ = Tr(ρA) .
POVM (mesures positives valorisées par l'opérateur)
Les mesures projectives standards régies par les opérateurs hermitiens sont des idéalisations. Dans la théorie moderne de l’information quantique, un cadre de mesure plus généralisé est requis, appelé POVM. Un POVM est un ensemble d'opérateurs semi-définis positifs {Ei } cette somme à la matrice d'identité (Σ Ei = I ). Contrairement aux opérateurs de projection orthogonale standard, les éléments POVM n'ont pas besoin d'être orthogonaux entre eux, ce qui leur permet de décrire des détecteurs bruyants, une discrimination d'état ambigu et des mesures impliquant des systèmes auxiliaires.
11. Valeurs attendues et évolution temporelle
Parce que la mécanique quantique est intrinsèquement probabiliste, une seule mesure d'un A sur un état générique |ψ⟩ donne une valeur propre aléatoire. Cependant, si l'on prépare un ensemble de systèmes identiques dans l'état |ψ⟩ et mesures A sur chacun d’eux, la moyenne statistique des résultats est hautement déterministe. C'est ce qu'on appelle le Valeur attendue , noté ⟨A⟩ :
⟨A⟩ = ⟨ψ| UNE |ψ⟩
Le comportement dynamique de cette valeur attendue au fil du temps est régi par le théorème d'Ehrenfest, qui stipule :
d⟨A⟩/dt = (1/iℏ) ⟨[A, H]⟩ + ⟨∂A/∂t⟩
Ce théorème constitue le pont vers le monde macroscopique. En appliquant le théorème d'Ehrenfest aux opérateurs de position et de quantité de mouvement, on retrouve les lois classiques de Newton (F = ma ) pour les valeurs attendues des paquets d'ondes, démontrant le principe de correspondance : la physique classique est la limite macroscopique des opérateurs quantiques agissant sur des états très localisés.
12. Le théorème spectral
L'ensemble de l'édifice mathématique de l'utilisation des opérateurs comme observables physiques repose sur le Théorème spectral d'analyse fonctionnelle. Le théorème dicte que pour tout opérateur auto-adjoint A sur un espace de Hilbert, il existe une base orthonormée de vecteurs propres de A . Ceci permet de construire une résolution de l'identité (ou relation de complétude) :
je = Σ |unen ⟩⟨unn |
Cette identité est sans doute l’outil le plus puissant de l’algèbre quantique. En insérant la matrice d'identité I En équations, les physiciens peuvent transformer de manière transparente entre différentes bases (par exemple, de l'espace de position à l'espace de quantité de mouvement) et décomposer des états complexes. De plus, le théorème spectral nous permet de définir rigoureusement les fonctions des opérateurs. Si un opérateur a la décomposition spectrale UNE = Σ unen |an ⟩⟨unn | , n'importe quelle fonction f(UNE) de l'opérateur est défini en appliquant la fonction aux valeurs propres :
f(UNE) = Σ f(unen ) |unen ⟩⟨unn |
C'est précisément ainsi que fonctionne l'opérateur d'évolution temporelle U(t) = exp(-iHt/ℏ) est mathématiquement construit à partir du hamiltonien.
13. Applications réelles et vérifications expérimentales
Le formalisme des opérateurs abstraits n’est pas simplement philosophique ; c'est le moteur qui alimente la technologie moderne. Les prédictions vérifiables générées par l’algèbre des opérateurs ont été confirmées avec une précision extraordinaire.
L'expérience Stern-Gerlach
La preuve expérimentale fondamentale des valeurs propres discrètes et des opérateurs non-navetteurs est l'expérience Stern-Gerlach de 1922. Les atomes d'argent traversant un champ magnétique inhomogène ne sont pas déviés vers un trait continu (comme le prédirait le moment cinétique classique), mais vers deux points quantifiés distincts. Cela correspond parfaitement aux valeurs propres du Spin-½ Sz opérateur. De plus, faire passer le faisceau à travers une chaîne séquentielle Sx l'analyseur démontre directement physiquement la non-commutation [Sz , Sx ] ≠ 0 , car la mesure du spin x détruit les informations de spin z précédemment connues.
Imagerie par résonance magnétique (IRM)
Les appareils d'IRM médicale reposent entièrement sur la manipulation d'opérateurs de spin nucléaire. Un fort champ magnétique constant établit un hamiltonien qui sépare les états propres de spin des noyaux d'hydrogène dans le corps humain (séparation de Zeeman). Les impulsions radiofréquence appliquent ensuite un opérateur unitaire dépendant du temps pour faire pivoter le vecteur d'état (la valeur attendue de l'opérateur de magnétisation) hors de l'équilibre. À mesure que l’état revient à l’état propre fondamental, le signal électromagnétique résultant est mesuré pour reconstruire une image anatomique 3D.
Informatique quantique et portes unitaires
Un ordinateur quantique remplace les bits classiques par des qubits et les portes logiques classiques par Opérateurs unitaires . Une porte quantique est physiquement implémentée en appliquant un hamiltonien spécifique pendant une durée spécifique, en exécutant l'opérateur U = exp(-iHt/ℏ) . Des algorithmes comme l'algorithme de factorisation de Shor et l'algorithme de recherche de Grover sont fondamentalement des séquences de matrices d'opérateurs unitaires massives agissant sur un espace de Hilbert multi-qubits. Le défi de la construction de matériel quantique est précisément celui d’exécuter parfaitement ces opérateurs mathématiques dans le monde physique sans que la décohérence ne détruise la fragile superposition.
14. Idées fausses courantes
"Les opérateurs ne sont que des matrices"
Correction : Les opérateurs sont des transformations linéaires abstraites sur un espace vectoriel. Une matrice est simplement une représentation numérique d'un opérateur sur une base arbitrairement choisie. Si vous changez la base (par exemple, de la position à l'élan), la matrice change complètement, mais l'opérateur abstrait sous-jacent reste identique. De plus, les opérateurs à spectres continus (comme la position) correspondent à des structures continues infinies, qui ne peuvent être modélisées par des matrices discrètes.
"Les observables et les opérateurs sont des synonymes"
Correction : Bien que profondément lié, un observable est une propriété physique et mesurable de l’univers (comme l’énergie cinétique). Un opérateur est l’outil mathématique que nous utilisons pour le modéliser sur une feuille de papier. Confondre les deux est un raccourci courant, mais philosophiquement, la carte n’est pas le territoire.
"Les opérateurs qui ne font pas la navette ne peuvent JAMAIS être mesurés simultanément"
Correction : Le principe d'incertitude de Heisenberg stipule qu'ils ne peuvent pas être mesurés simultanément avec une précision arbitraire pour tous États. Cependant, deux opérateurs non-navetteurs peuvent occasionnellement partager un état propre singulier et spécifique. Si le système se trouve dans cet état spécifique, les deux observables peuvent techniquement avoir des valeurs nettes et précises. Mais ils ne partagent pas un compléter base d’états propres simultanés.
"Tout opérateur hermitien représente un observable physiquement mesurable"
Correction : Mathématiquement, tout opérateur auto-adjoint correspond au postulat. Physiquement, nous ne savons pas comment construire un appareil de laboratoire pour mesurer des opérateurs mathématiques arbitraires, très complexes et construits artificiellement (tels que x15 p12 + sin(p) ). Seul un petit sous-ensemble d’opérateurs correspond à des observables pratiquement accessibles dans la réalité.
15. FAQ
Quelle est la différence entre un opérateur et un scalaire ?
Un scalaire est un nombre unique (réel ou complexe). Un opérateur est une fonction mathématique qui prend un vecteur entier (un état quantique) en entrée et génère un nouveau vecteur. Dans les équations algébriques, l'ordre dans lequel les scalaires sont multipliés n'a pas d'importance (ab = ba ), mais l'ordre des opérateurs est crucial (AB ≠ BA ).
Pourquoi l'opérateur d'impulsion est-il imaginaire ?
L'opérateur d'impulsion dans l'espace de position est P = -iℏ(∂/∂x) . L'unité imaginaire i est nécessaire pour créer l'opérateur Hermitien. Une dérivée nue ∂/∂x est anti-hermitienne (ses valeurs propres sont purement imaginaires). -i fait pivoter les valeurs propres vers l'axe réel, garantissant que les mesures de l'impulsion produisent des nombres physiques réels.
Qu'est-ce que cela signifie pour un opérateur d'être « Unitaire » ?
Alors que les opérateurs hermitiens représentent des observables, les opérateurs unitaires représentent des transformations (telles que la rotation, la translation ou l'évolution temporelle). Un opérateur U est unitaire si son inverse est égal à son adjoint (U† U = I ). Les opérateurs unitaires sont essentiels car ils préservent le produit interne et la normalisation de la fonction d'onde, garantissant que la probabilité totale totalise toujours 100 %.
16. Sources et lectures complémentaires
Von Neumann, John. Fondements mathématiques de la mécanique quantique . Princeton University Press, 1955. (Édition originale allemande : 1932) Dirac, Paul AM Les principes de la mécanique quantique . 4e éd., Oxford University Press, 1958. Sakurai, J.J. et Jim Napolitano. Mécanique quantique moderne . 2e éd., Cambridge University Press, 2017. Griffiths, David J. et Darrell F. Schroeter. Introduction à la mécanique quantique . 3e éd., Cambridge University Press, 2018. Cohen-Tannoudji, Claude, Bernard Diu et Franck Laloë. Mécanique quantique, tome 1 . Wiley-VCH, 1991. Nielsen, Michael A. et Isaac L. Chuang. Calcul quantique et information quantique . Éd. 10e anniversaire, Cambridge University Press, 2010.