Table des matières
1. Introduction au monde quantique 2. Contexte historique : la naissance de la mécanique ondulatoire 3. Une dérivation heuristique de l'équation 4. Les deux formes fondamentales : TDSE et TISE 5. Le cadre mathématique : espace de Hilbert et opérateurs 6. Interprétation : ce que signifie réellement la fonction d'onde 7. Exemples concrets complets
8. Applications du monde réel 9. La limite classique et le théorème d'Ehrenfest 10. Au-delà de Schrödinger : là où tout s'effondre 11. Idées fausses courantes 12. Foire aux questions 13. Sources et lectures complémentaires
1. Introduction au monde quantique
L'équation de Schrödinger est la pierre angulaire fondamentale de la mécanique quantique non relativiste. De la même manière que la deuxième loi du mouvement de Sir Isaac Newton (\(F = ma\)) régit la trajectoire des objets macroscopiques classiques, l'équation de Schrödinger dicte l'évolution dynamique des états quantiques microscopiques. Il décrit comment l'état quantique d'un système physique évolue au fil du temps, transformant fondamentalement notre compréhension de la réalité d'un univers mécanique déterministe à un domaine probabiliste caractérisé par des fonctions d'onde et des incertitudes inhérentes.
À la base, cette construction mathématique élégante détermine la fonction d’onde, une amplitude de probabilité à valeurs complexes à partir de laquelle toutes les propriétés observables d’un système peuvent être dérivées. Qu’il s’agisse des trajectoires erratiques des électrons dans un cristal semi-conducteur, des orbites stables des atomes qui composent nos structures biologiques ou des étranges phénomènes tunnel utilisés dans l’informatique quantique moderne, l’équation de Schrödinger est l’arbitre mathématique ultime.
Dans ce guide complet, nous nous lancerons dans un voyage rigoureux à travers les origines, les dérivations mathématiques, les applications pratiques et les implications philosophiques de l'équation de Schrödinger. En parcourant les mathématiques complexes (y compris les opérateurs, les valeurs propres et les équations aux dérivées partielles), vous développerez une solide compréhension de niveau universitaire de ce triomphe monumental de la physique.
2. Contexte historique : la naissance de la mécanique ondulatoire
Pour vraiment apprécier l’équation de Schrödinger, il faut comprendre la crise de la physique au début du XXe siècle. La mécanique classique, l’électromagnétisme et la thermodynamique se sont révélées extrêmement efficaces. Cependant, des anomalies flagrantes ont commencé à apparaître. La résolution de Max Planck sur la catastrophe radiologique du corps noir en 1900 a introduit le concept d'énergie quantifiée. L'explication de l'effet photoélectrique donnée par Albert Einstein en 1905 suggérait que la lumière elle-même est composée de quanta discrets (photons). En 1913, Niels Bohr a formulé un modèle de l'atome d'hydrogène proposant que les électrons résident sur des orbites quantifiées, mais Bohr n'a pas pu expliquer fondamentalement pourquoi ces orbites ont été quantifiées.
Les ondes de matière radicale de De Broglie
The pivotal theoretical leap occurred in 1924. A French physicist named Louis de Broglie posited in his doctoral thesis that the wave-particle duality of light might be a universal property of all matter. He proposed that any moving particle with momentum \(p\) possesses an associated wavelength \(\lambda\) given by:
\( \lambda = \frac{h}{p} \)
where \(h\) is the Planck constant. This revolutionary hypothesis, known as the de Broglie wavelength, implied that electrons—previously considered strictly particulate—should exhibit wave-like phenomena such as diffraction and interference.
Schrödinger's Pursuit in Arosa
In late 1925, Peter Debye, aware of de Broglie's thesis, suggested to Erwin Schrödinger that if matter behaves like a wave, there must be a wave equation governing it. Inspired, Schrödinger retreated to a cabin in Arosa, Switzerland, during the winter holidays. Over the next few months in 1926, he published a series of four groundbreaking papers in Annalen der Physik .
Schrödinger sought an equation that would yield the Bohr energy levels of hydrogen as natural eigenvalues of a wave equation, much like the discrete resonant frequencies of a vibrating violin string. He succeeded brilliantly. Simultaneously, Werner Heisenberg, Max Born, and Pascual Jordan were developing Matrix Mechanics—a mathematically distinct but physically equivalent formulation. However, physicists of the era heavily favored Schrödinger's approach because it utilized the familiar partial differential equations prevalent in classical wave physics.
3. A Heuristic Derivation of the Equation
While the Schrödinger equation cannot be strictly "derived" from classical principles (it is an axiom of quantum mechanics), its form can be motivated by combining classical wave mechanics with de Broglie and Planck-Einstein relations.
Consider a classical plane wave propagating in one dimension:
\( \Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \)
Here, \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) is the wave number, and \(\omega = 2\pi\nu\) is the angular frequency. Using the quantum relations:
Momentum: \( p = \hbar k \)
Energy: \( E = \hbar \omega \)
where \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) is the reduced Planck constant. The wave function can be rewritten in terms of energy and momentum:
\( \Psi(x,t) = A \exp\left[ \frac{i}{\hbar} (px - Et) \right] \)
Let us now extract the energy \(E\) and momentum \(p\) by taking derivatives. Taking the partial derivative with respect to position \(x\):
\( \frac{\partial \Psi}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar} \Psi \quad \implies \quad p\Psi = -i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x} \)
Taking the second derivative gives the momentum squared:
\( p^2 \Psi = -\hbar^2 \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \)
Next, taking the partial derivative with respect to time \(t\):
\( \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{iE}{\hbar} \Psi \quad \implies \quad E\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} \)
In classical non-relativistic mechanics, the total energy \(E\) of a particle of mass \(m\) in a potential \(V(x)\) is the sum of its kinetic and potential energies:
\( E = \frac{p^2}{2m} + V(x) \)
Multiplying both sides by the wave function \(\Psi\):
\( E\Psi = \frac{p^2}{2m}\Psi + V(x)\Psi \)
Substituting the derivative operators we derived earlier yields the one-dimensional Time-Dependent Schrödinger Equation (TDSE) :
\( i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \Psi(x,t) \)
This heuristic argument highlights a profound feature: in quantum mechanics, physical observables are replaced by mathematical operators. Specifically, the momentum operator is \( \hat{p} = -i\hbar \nabla \), and the energy operator is \( \hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \).
4. The Two Fundamental Forms: TDSE and TISE
The Time-Dependent Schrödinger Equation (TDSE)
En trois dimensions, la forme générale du TDSE est :
\( i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t) \)
où \( \hat{H} \) est l'opérateur hamiltonien, représentant l'énergie totale du système. Pour une seule particule dans un potentiel \(V(\mathbf{r})\) :
\( \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \)
Le TDSE régit l'évolution déterministe de la fonction d'onde au fil du temps. C'est une équation différentielle du premier ordre en temps. Par conséquent, contrairement à l’équation d’onde classique du second ordre, connaître l’état \(\Psi(\mathbf{r}, 0)\) à un instant initial détermine de manière unique l’état pour tous les instants futurs.
L'équation de Schrödinger indépendante du temps (TISE)
Lorsque l'énergie potentielle \(V(\mathbf{r})\) est indépendante du temps, on peut utiliser la méthode de séparation des variables. Nous supposons des solutions de la forme :
\( \Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) \phi(t) \)
Le remplacement de ceci par le TDSE et la division par \(\psi\phi\) séparent l'équation en parties spatiales et temporelles :
\( i\hbar \frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{dt} = \frac{1}{\psi} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V(\mathbf{r})\psi \right] \)
Puisque le côté gauche dépend uniquement de \(t\) et le côté droit uniquement de \(\mathbf{r}\), les deux côtés doivent être égaux à une constante, que nous identifions comme l'énergie totale \(E\).
L'équation temporelle est résolue de manière triviale :
\( \phi(t) = e^{-iEt/\hbar} \)
La partie spatiale donne le Équation de Schrödinger indépendante du temps (TISE) :
\( \hat{H}\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) \)
Il s’agit d’un problème classique de valeurs propres. Les solutions \(\psi(\mathbf{r})\) sont les fonctions propres d'énergie (ou états stationnaires), et les constantes \(E\) sont les valeurs propres d'énergie autorisées. Parce que la dépendance temporelle est simplement un facteur de phase tournant \( e^{-iEt/\hbar} \), la densité de probabilité \( |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 = |\psi(\mathbf{r})|^2 \) est indépendante du temps, justifiant le terme « état stationnaire ».
5. Le cadre mathématique : espace de Hilbert et opérateurs
Pour appliquer rigoureusement l’équation de Schrödinger, nous devons la fonder sur son cadre mathématique formel, principalement développé par John von Neumann.
Espace Hilbert
L'état d'un système quantique est représenté par un vecteur (ou fonction d'onde) dans un espace de Hilbert complexe, \(\mathcal{H}\). Un espace de Hilbert est un espace vectoriel complet équipé d'un produit scalaire. Le produit scalaire de deux fonctions d'onde \(\psi\) et \(\phi\) dans une base de position continue est défini comme :
\( \langle \phi | \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \phi^*(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d^3r \)
où \(\phi^*\) est le conjugué complexe de \(\phi\). Ce produit interne permet les concepts de longueur (normalisation) et d'angle (orthogonalité).
Opérateurs hermitiens
En mécanique quantique, chaque observable physique (impulsion, position, moment cinétique) correspond à un opérateur hermitien linéaire agissant sur l'espace de Hilbert. Un opérateur \(\hat{A}\) est hermitien s'il est égal à son adjoint (\(\hat{A} = \hat{A}^\dagger\)), c'est-à-dire :
\( \langle \phi | \hat{A} \psi \rangle = \langle \hat{A} \phi | \psi \rangle \)
Cette propriété mathématique garantit deux réalités physiques cruciales :
Valeurs propres réelles : Les valeurs propres d'un opérateur hermitien sont strictement réelles, garantissant que les résultats des mesures physiques (comme l'énergie ou la quantité de mouvement) sont des nombres réels.États propres orthogonaux : Les fonctions propres correspondant à différentes valeurs propres sont orthogonales, formant un ensemble de base complet. Toute fonction d'onde arbitraire peut être exprimée comme une superposition linéaire de ces états propres : \( \Psi = \sum c_n \psi_n \).
6. Interprétation : ce que signifie réellement la fonction d'onde
Schrödinger a initialement interprété la fonction d'onde \(\Psi\) comme une distribution littérale et étalée de charge physique ou de matière. Cependant, cette interprétation s'est effondrée après un examen minutieux, car les paquets d'ondes ont tendance à s'étaler dans le temps, alors que les particules comme les électrons sont toujours détectées comme des points discrets.
La règle née
En 1926, Max Born formula l’interprétation statistique acceptée, ce qui lui valut le prix Nobel en 1954. Born a affirmé que la fonction d'onde elle-même n'est pas une matière physiquement réelle. Au lieu de cela, c'est un amplitude de probabilité . La densité de probabilité \(P(\mathbf{r}, t)\) de trouver une particule à la position \(\mathbf{r}\) au temps \(t\) est donnée par la magnitude au carré de la fonction d'onde :
\( P(\mathbf{r}, t) = |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 = \Psi^*(\mathbf{r}, t)\Psi(\mathbf{r}, t) \)
Normalisation
Pour que l’interprétation probabiliste ait un sens physique, la particule doit exister quelque part dans l'univers. Ainsi, l'intégrale de la densité de probabilité sur tout l'espace doit être exactement 1 :
\( \int |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 d^3r = 1 \)
Il est remarquable que le TDSE soit intrinsèquement unitaire. Si une fonction d'onde est normalisée à \(t=0\), l'équation de Schrödinger garantit qu'elle reste normalisée pour tous les temps futurs. Cette conservation de probabilité est liée à la densité de courant de probabilité \(\mathbf{J}\) :
\( \mathbf{J} = \frac{i\hbar}{2m} (\Psi \nabla \Psi^* - \Psi^* \nabla \Psi) \)
Ce qui satisfait l'équation de continuité : \( \frac{\partial P}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 \).
7. Exemples concrets complets
La véritable puissance de l’équation de Schrödinger se révèle lorsqu’elle est appliquée à des potentiels physiques spécifiques. En résolvant l’équation dans diverses conditions aux limites, la nature étrange et non intuitive de la quantification quantique apparaît naturellement.
7.1 Les paquets libres de particules et d'ondes
Considérons une particule se déplaçant dans l'espace libre sans aucune force agissant sur elle, telle que \(V(x) = 0\). Le TISE se simplifie en :
\( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi \)
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire standard du second ordre. Les solutions sont des exponentielles complexes (ou sinus et cosinus) :
\( \psi_k(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \)
où \(k = \sqrt{2mE}/\hbar\). Ce sont des états propres de quantité de mouvement. La solution entièrement dépendante du temps pour une onde se déplaçant vers l'avant est :
\( \Psi_k(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \)
Cependant, une onde plane pure s'étend sur tout l'espace (sa norme est infinie), ce qui signifie que la position de la particule est totalement libre (conséquence du principe d'incertitude de Heisenberg, \(\Delta x \Delta p \ge \hbar/2\)). Pour construire une particule localisée, nous devons créer un paquet de vagues en superposant des ondes planes de différentes impulsions :
\( \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{i(kx - \omega(k)t)} nsp \)
En raison de la relation de dispersion \(\omega(k) = \frac{\hbar k^2}{2m}\), différentes composantes de quantité de mouvement se déplacent à différentes vitesses de phase. Par conséquent, un paquet d’ondes quantiques libres s’étale (se disperse) inévitablement dans le temps.
7.2 Le puits carré infini (particules dans une boîte)
Imaginez une particule confinée entre deux murs impénétrables à \(x=0\) et \(x=L\). Le potentiel \(V(x)\) est nul à l’intérieur de la boîte et infini à l’extérieur. Parce que la particule ne peut pas exister là où le potentiel est infini, la fonction d'onde doit disparaître aux frontières : \(\psi(0) = \psi(L) = 0\).
À l’intérieur du puits, le TISE est identique à la particule libre, donnant \(\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\). Application des conditions aux limites :
\(\psi(0) = 0 \implique B = 0\)
\(\psi(L) = 0 \implique A \sin(kL) = 0\)
Pour les solutions non triviales (\(A \neq 0\)), nous avons besoin de \(kL = n\pi\), où \(n\) est un entier strictement positif (\(n = 1, 2, 3, \dots\)). Cela restreint \(k\) aux valeurs discrètes \(k_n = \frac{n\pi}{L}\).
En reconnectant cela à la relation énergétique \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\), nous obtenons les niveaux d'énergie quantifiés :
\( E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \)
La normalisation de la fonction d'onde (\(\int_0^L |A \sin(n\pi x/L)|^2 dx = 1\)) donne \(A = \sqrt{2/L}\). Ainsi, les fonctions propres normalisées sont :
\( \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \)
Notez que l'état d'énergie le plus bas (\(n=1\)) n'est pas nul. C'est le énergie du point zéro , conséquence directe du principe d'incertitude : une particule étroitement confinée doit avoir une variance de quantité de mouvement significative.
7.3 Le puits carré fini et le tunnel quantique
Si les parois de la boîte ne sont pas infinies mais ont une hauteur finie \(V_0\), la situation change radicalement. Nous divisons l'espace en trois régions : à l'extérieur du puits à gauche (I), à l'intérieur du puits (II) et à l'extérieur à droite (III).
Pour un état lié (\(E < V_0\)), le TISE dans les régions I et III devient :
\( \frac{d^2\psi}{dx^2} = \kappa^2 \psi \quad \text{where} \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} \)
Les solutions sont des fonctions en décroissance exponentielle : \(\psi_I \sim e^{\kappa x}\) et \(\psi_{III} \sim e^{-\kappa x}\). Cela révèle l’une des caractéristiques les plus étonnantes de la mécanique quantique : la fonction d’onde ne tombe pas immédiatement à zéro au point d’inflexion classique. Il s'infiltre dans la région interdite.
Si la barrière est de largeur finie, la fonction d’onde de fuite peut émerger de l’autre côté. Ce phénomène, dans lequel une particule traverse une barrière de potentiel qu'elle ne devrait normalement pas pouvoir surmonter, est appelé tunnel quantique . L'effet tunnel est le mécanisme à l'origine de la désintégration nucléaire alpha, de la fusion des étoiles et du fonctionnement des microscopes à effet tunnel (STM).
7.4 L'oscillateur harmonique quantique
Tout minimum potentiel arbitraire peut être approché localement sous forme de parabole. Ainsi, le potentiel de l'oscillateur harmonique, \(V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\), est omniprésent en physique, modélisant tout, des liaisons moléculaires diatomiques aux vibrations du réseau (phonons) et aux modes de champ électromagnétique.
Le TISE prend la forme :
\( \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \right] \psi(x) = E\psi(x) \)
Cette équation peut être résolue analytiquement en utilisant des séries entières (la méthode Frobenius), produisant des solutions impliquant des polynômes d'Hermite \(H_n(\xi)\) multipliés par une enveloppe gaussienne :
\( \psi_n(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2} \)
Une approche alternative très élégante conçue par Paul Dirac utilise des « opérateurs d'échelle » algébriques (création \(\hat{a}^\dagger\) et annihilation \(\hat{a}\)). En exprimant l'hamiltonien en termes de ces opérateurs, on dérive facilement le spectre d'énergie quantifié :
\( E_n = \hbar\omega \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots \)
Là encore, l'énergie du point zéro \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\) se manifeste, garantissant que le système n'est jamais complètement au repos.
7.5 L'atome d'hydrogène
Le couronnement de l'article initial de Schrödinger consistait à déterminer le spectre énergétique de l'atome d'hydrogène. Le potentiel est l'attraction coulombienne entre l'électron et le proton :
\( V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \)
Parce qu'il s'agit d'un potentiel central (dépendant uniquement de la distance radiale \(r\)), le TISE 3D est mieux résolu en coordonnées sphériques \((r, \theta, \phi)\). L'opérateur laplacien \(\nabla^2\) est développé et la fonction d'onde est séparée en composantes radiales et angulaires :
\( \psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_l^{m_l}(\theta, \phi) \)
Les solutions angulaires \(Y_l^{m_l}\) sont les harmoniques sphériques , qui dictent les formes des orbitales atomiques (blocs s, p, d, f). L'équation radiale donne des solutions basées sur Polynômes de Laguerre .
L'exigence selon laquelle la fonction d'onde reste finie et normalisable génère naturellement trois nombres quantiques :
\(n\) : Le nombre quantique principal (\(n = 1, 2, 3, \dots\))
\(l\) : Le nombre quantique du moment cinétique orbital (\(l = 0, 1, \dots, n-1\))
\(m_l\) : Le nombre quantique magnétique (\(m_l = -l, \dots, +l\))
Les niveaux d'énergie résultants dépendent uniquement de \(n\) (en ignorant la structure fine) :
\( E_n = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} \approx -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2} \)
Ce résultat correspondait parfaitement à la formule empirique de Rydberg et au modèle de Bohr, renforçant ainsi la validité de la mécanique ondulatoire.
8. Applications du monde réel
L’équation de Schrödinger n’est pas seulement une question de mathématiques abstraites ; c’est le fondement théorique d’une grande partie de la technologie et de la science modernes.
Physique des semi-conducteurs : En résolvant l'équation de Schrödinger pour un potentiel périodique (un réseau cristallin), on obtient les fonctions d'onde de Bloch et les structures de bandes d'énergie. Cela explique directement la différence entre les conducteurs, les isolants et les semi-conducteurs, conduisant à l’invention du transistor, des puces électroniques et des ordinateurs modernes.Chimie quantique : L'ensemble du domaine de la chimie computationnelle consiste à trouver des solutions approximatives à l'équation de Schrödinger multiélectronique (en utilisant des techniques telles que Hartree-Fock ou la théorie fonctionnelle de la densité) pour prédire les orbitales moléculaires, les forces de liaison, les taux de réaction chimique et pour faciliter la conception de médicaments pharmaceutiques.Lasers et Optique : Les principes de l'émission stimulée nécessitent de comprendre les probabilités de transition entre les états atomiques quantifiés, calculées à l'aide de la théorie des perturbations dépendantes du temps appliquée à l'équation de Schrödinger.Imagerie par résonance magnétique (IRM) : Comprendre la manipulation du spin nucléaire dans un champ magnétique nécessite le formalisme de Schrödinger (notamment via la formulation de spin de Pauli-Schrödinger).
9. La limite classique et le théorème d'Ehrenfest
Une nouvelle théorie physique réussie doit englober les théories plus anciennes dans la limite où les anciennes théories sont connues pour fonctionner. Comment l'équation probabiliste de Schrödinger se réduit-elle à une mécanique newtonienne déterministe pour les objets macroscopiques ?
Théorème d'Ehrenfest fournit le lien crucial. Il affirme que les valeurs attendues (les moyennes statistiques) des opérateurs quantiques obéissent à des équations de mouvement analogues à la mécanique classique. Par exemple, le taux de variation de la valeur attendue de la quantité de mouvement est égal à la valeur attendue de la force classique :
\( \frac{d\langle \hat{p} \rangle}{dt} = \left\langle -\frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle \)
Pour un paquet d'ondes hautement localisé d'un objet macroscopique, la variance de position est négligeable et le centre du paquet d'ondes suit exactement la trajectoire newtonienne classique.
De plus, le Rapprochement WKB montre que lorsque la constante de Planck \(\hbar\) s'approche de zéro (par rapport à l'action du système), la phase de la fonction d'onde se comporte selon les équations classiques de Hamilton-Jacobi, confirmant le principe de correspondance de Bohr.
10. Au-delà de Schrödinger : là où tout s'effondre
Malgré son immense puissance, l’équation de Schrödinger est une approximation. C’est intrinsèquement non relativiste. Lorsque les particules approchent de la vitesse de la lumière, l'opérateur d'énergie cinétique \( p^2/2m \) doit être remplacé par la relation relativiste énergie-impulsion \( E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \).
Les premières tentatives pour formuler une équation d'onde relativiste ont abouti au Équation de Klein-Gordon , qui fonctionne pour les particules de spin 0 mais autorise des densités de probabilité négatives. En 1928, Paul Dirac linéarise la relation énergétique pour formuler le Équation de Dirac , qui incorporait naturellement le spin des électrons et prédisait avec succès l’existence de l’antimatière (positrons).
Cependant, même l’équation de Dirac est insuffisante pour les systèmes dans lesquels le nombre de particules change (par exemple, émission de photons, annihilation particule-antiparticule). Pour modéliser ces phénomènes, les physiciens passent de la mécanique quantique à Théorie quantique des champs (QFT) , où la fonction d'onde elle-même est élevée au rang d'opérateur capable de créer et de détruire des particules. Le QFT standard constitue la base du modèle standard de la physique des particules.
11. Idées fausses courantes
"La fonction d'onde représente une onde physique dans l'espace"
Bien qu'elle soit souvent visualisée comme une ondulation, la fonction d'onde pour un système de particules \(N\) existe dans un espace de configuration dimensionnel \(3N\), et non dans notre espace physique 3D standard. C'est un instrument mathématique pour calculer des probabilités.
"La mécanique quantique implique que la nature est complètement aléatoire"
L'évolution temporelle de la fonction d'onde dictée par l'équation de Schrödinger est 100 % déterministe et réversible. Le hasard et la probabilité n’entrent en scène qu’au moment de l’acte de mesure (effondrement de la fonction d’onde), régi par la règle de Born.
"L'équation de Schrödinger prouve les univers parallèles"
L’équation elle-même est indépendante de l’interprétation. L'interprétation des mondes multiples (MWI) prend l'équation au pied de la lettre, proposant que l'effondrement de la fonction d'onde ne se produise jamais et que tous les états de superposition possibles se réalisent dans des univers orthogonaux ramifiés. Cependant, l’interprétation de Copenhague, la mécanique bohmienne et les théories de l’effondrement objectif s’accordent toutes sur les mathématiques de l’équation tout en proposant des réalités ontologiques très différentes.
12. Foire aux questions
Pouvons-nous résoudre l’équation exactement pour tous les atomes ?
Non. L'équation de Schrödinger ne peut être résolue exactement (analytiquement) que pour les systèmes avec un seul électron, comme l'hydrogène, He⁺ ou Li²⁺. Pour les systèmes multiélectroniques comme l’hélium, les termes de répulsion électron-électron dans l’hamiltonien empêchent des solutions analytiques exactes. Nous devons nous appuyer sur des approximations numériques sophistiquées.
Pourquoi l’unité imaginaire \(i\) apparaît-elle dans l’équation ?
Contrairement aux équations d'ondes classiques qui impliquent la dérivée seconde du temps, le TDSE est du premier ordre en temps. Pour produire des solutions oscillatoires et ondulatoires à partir d’une dérivée du premier ordre, la constante de proportionnalité doit être imaginaire. Cette nature complexe impose l'unité, garantissant que les probabilités totalisent toujours 100 %.
Qui a découvert l'équation de Schrödinger ?
Erwin Schrödinger a publié l'équation en 1926. Cependant, les concepts fondamentaux reposaient sur les travaux antérieurs de Louis de Broglie, Max Planck et Albert Einstein.
13. Sources et lectures complémentaires
Schrödinger, E. (1926). "Quantisation du problème propre." Annalen der Physik, 384(4), 361-376. de Broglie, L. (1924). Recherches sur la théorie des quanta. Thèse de doctorat, Sorbonne. Griffiths, DJ et Schroeter, DF (2018). Introduction à la mécanique quantique (3e éd.). La Presse de l'Universite de Cambridge. Sakurai, JJ et Napolitano, J. (2017). Mécanique quantique moderne (2e éd.). La Presse de l'Universite de Cambridge. Né, M. (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge." Zeitschrift für Physik, 37(12), 863-867. Dirac, PAM (1930). Les principes de la mécanique quantique. Presse de l'Université d'Oxford. Shankar, R. (2012). Principes de mécanique quantique (2e éd.). Springer. Cohen-Tannoudji, C., Diu, B. et Laloë, F. (1977). Mécanique quantique. Wiley-VCH.
Références générales supplémentaires : Conférences MIT OpenCourseWare 8.04 (Physique quantique I) par Allan Adams ; Base de données des spectres atomiques du NIST.