Contenido
Introducción Independiente del tiempo Perturbación degenerada Dependiente del tiempo La regla de oro de Fermi Aplicaciones Conceptos erróneos Preguntas frecuentes Fuentes Introducción
La mayoría de los problemas de la mecánica cuántica no pueden resolverse exactamente. La teoría de la perturbación proporciona aproximaciones sistemáticas cuando el hamiltoniano se puede dividir en una parte soluble Ĥ₀ y una pequeña perturbación Ĥ': Ĥ = Ĥ₀ + λĤ'. Ampliar las soluciones en potencias de λ proporciona correcciones a las energías, funciones de onda y probabilidades de transición. La técnica es el caballo de batalla de la física atómica, la física nuclear, la materia condensada y la teoría cuántica de campos.
Teoría de la perturbación independiente del tiempo
Para un hamiltoniano estacionario Ĥ = Ĥ₀ + λĤ' con estados propios conocidos |n⁰⟩ de Ĥ₀ con energías En ⁰:
Energía de primer orden
En ⁽¹⁾ = ⟨n⁰|Ĥ'|n⁰⟩
Función de onda de primer orden
|n⁽¹⁾⟩ = Σm≠n [⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩ / (En ⁰ − mim ⁰)] |m⁰⟩
Energía de segundo orden
En ⁽²⁾ = Σm≠n |⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩|² / (En ⁰ − mim ⁰)
La serie en λ generalmente converge para λ lo suficientemente pequeño. Para λ grande, se necesitan métodos alternativos [1 ].
Teoría de la perturbación degenerada
Si |n⁰⟩ es degenerado (múltiples estados con la misma En ⁰), las fórmulas de primer orden tienen denominadores nulos. La solución: diagonalizar la matriz de perturbaciones dentro del subespacio degenerado. Las correcciones de primer orden a las energías son valores propios de esta matriz; los vectores propios correspondientes son los estados adecuados de orden cero.
Ejemplo: efecto rígido
Un campo eléctrico perturba el hidrógeno. Para n = 2 (degenerado 4 veces), la perturbación eleva la degeneración linealmente en el campo: el efecto Stark lineal, característico del hidrógeno. Para los estados no degenerados, el efecto principal es cuadrático.
Teoría de la perturbación dependiente del tiempo
Para una perturbación dependiente del tiempo Ĥ'(t), la probabilidad de encontrar el sistema en el estado |m⟩ en el tiempo t, dado que comenzó en |n⟩:
Pn→metro (t) = |(1/iℏ) ∫₀t ⟨m|Ĥ'(t')|n⟩ exp(iωmn t') dt'|²
donde ωmn = (mim − min )/ℏ. Para una perturbación armónica, las transiciones son más eficientes en resonancia (frecuencia de conducción = frecuencia de transición).
La regla de oro de Fermi
Para transiciones de un estado discreto a un continuo de estados con densidad ρ(Ef ), la tasa de transición por unidad de tiempo:
Γi→f = (2π/ℏ) |⟨f|Ĥ'|i⟩|² ρ(Ef )
Llamada "regla de oro de Fermi" por Fermi, quien la utilizó ampliamente. Es el caballo de batalla para calcular tasas de desintegración, secciones transversales de dispersión, probabilidades de ionización y cualquier proceso que implique transiciones a un continuo [2 ].
Aplicaciones
Física atómica: Efectos Stark, Zeeman; ampliación de línea; tasas de emisión espontánea.Física nuclear: Tasas de desintegración beta; transiciones nucleares.Materia condensada: Dispersión electrón-fonón; resistividad eléctrica de las impurezas.Física de partículas: Tasas de decaimiento, amplitudes de dispersión (los diagramas de Feynman son expansión de perturbaciones).Química: Espectros moleculares, velocidades de reacción. Conceptos erróneos comunes
"La teoría de la perturbación siempre converge"
A menudo da series asintóticas que eventualmente divergen. Para QED, la serie de perturbaciones es asintótica, con el resto asintótico acotado para muchos propósitos prácticos.
"Las correcciones de orden superior siempre mejoran la precisión"
Para series asintóticas, solo hasta cierto orden. Más allá del orden óptimo, los términos crecen.
"La teoría de la perturbación reemplaza las soluciones exactas"
No: ofrece soluciones aproximadas cuando las exactas no están disponibles. Cuando existen soluciones exactas, son preferibles.
"La regla de oro de Fermi se aplica a cualquier transición"
Se aplica cuando los estados finales forman un continuo y la perturbación es débil. No apto para transiciones discretas a discretas ni para conducción intensa.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el pequeño parámetro?
Lo que sea que haga que la perturbación sea pequeña en comparación con Ĥ₀. Para el efecto Stark, la intensidad del campo eléctrico en relación con las escalas del campo atómico. Para QED, la constante de estructura fina α ≈ 1/137.
¿Cuándo falla la teoría de la perturbación?
Los regímenes de acoplamiento fuerte (QCD de red, emparejamiento BCS, etc.) requieren métodos no perturbativos. Las resonancias y las casi degeneraciones requieren una teoría de la perturbación degenerada.
¿Cuál es el enlace a los diagramas de Feynman?
Los diagramas de Feynman son una representación pictórica de los términos de la teoría de la perturbación. Cada diagrama corresponde a un término en la expansión de perturbaciones de la matriz S.
¿Cómo se relaciona la teoría de la perturbación con los métodos numéricos?
Para perturbaciones pequeñas, la expansión analítica es más rápida que la numérica. Para perturbaciones grandes, la diagonalización numérica directa suele ser más fácil y precisa.
Fuentes
Sakurai, J. J., Napolitano, J. (2017). Mecánica cuántica moderna , 2ª ed.
Fermi, E. (1950). Física Nuclear . Prensa de la Universidad de Chicago.
Griffiths, DJ (2018). Introducción a la Mecánica Cuántica , 3ª ed.
Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1977). Mecánica Cuántica . Wiley.