Contenido
Introducción El método Puntos de inflexión Cuantización del estado ligado Túneles Conceptos erróneos Preguntas frecuentes Fuentes Introducción
La aproximación Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB), desarrollada en 1926 por tres físicos que trabajaban de forma independiente, proporciona una solución semiclásica de la ecuación de Schrödinger para potenciales que varían lentamente. Une la mecánica cuántica y la clásica, proporcionando aproximaciones analíticas a las energías de estado ligado, tasas de túneles y fases de dispersión. WKB es una de las técnicas más utilizadas en mecánica cuántica.
El método
Escriba la función de onda como ψ(x) = exp(iS(x)/ℏ) y expanda S en potencias de ℏ:
S = S₀ + ℏS₁ + ℏ²S₂ + ...
Sustituyendo en la ecuación de Schrödinger y manteniendo las órdenes principales se obtiene:
ψ(x) ≈ (1/√p(x)) exp(±(i/ℏ)∫p(x')dx')
donde p(x) = √(2m(E−V(x))) es el impulso clásico. Válido cuando el potencial varía lentamente en comparación con la longitud de onda local de De Broglie [1 ].
Validez
La aproximación WKB es buena cuando |dλ/dx| ≪ 1, donde λ = 2πℏ/p es la longitud de onda local de De Broglie. Se rompe cerca de los puntos de inflexión clásicos donde p → 0.
Puntos de inflexión
En los puntos de inflexión clásicos (E = V), p = 0 y la fórmula WKB tiene una singularidad. Las "fórmulas de conexión" especiales (funciones de Airy) manejan la transición entre la región oscilatoria (E > V) y la región que decae exponencialmente (E < V).
La conexión estándar: en la región clásicamente permitida, ψ ∼ cos(∫p dx/ℏ − π/4). En la región prohibida, ψ ∼ exp(−∫|p| dx/ℏ). El cambio de fase −π/4 proviene de las asintóticas de la función de Airy [2 ].
Cuantización del estado ligado
Para un estado ligado con dos puntos de inflexión x₁ y x₂, la condición de cuantificación WKB (Bohr-Sommerfeld) es:
∫x₁ x₂ p(x) dx = (n + 1/2)πℏ
donde n = 0, 1, 2,... es el número cuántico. Esto generaliza la antigua condición de cuantificación de Bohr con una corrección de 1/2 del índice de Maslov (cada punto de inflexión contribuye a una pérdida de fase π/2).
Ejemplos
Oscilador armónico: WKB da el resultado exacto En = ℏω(norte + 1/2).
Hidrógeno: WKB proporciona la fórmula correcta de Rydberg (con cierta atención al término centrífugo del momento angular).
Potenciales anarmónicos: WKB proporciona niveles de energía sorprendentemente precisos para números cuánticos de moderados a altos.
Túneles
El coeficiente de transmisión WKB a través de una barrera es:
T ≈ exp[−(2/ℏ)∫x₁ x₂ √(2m(V(x)−E)) dx]
Esta es la fórmula estándar para la probabilidad de hacer túneles. Utilizado en:
Desintegración alfa (Gamow 1928).
Fusión en estrellas (pico Gamow).
Microscopía de efecto túnel.
Tasas de ionización de campo en campos eléctricos fuertes.
Decaimiento del vacío en la teoría de campos.
Consulte el artículo dedicado al túnel cuántico para obtener más detalles.
Conceptos erróneos comunes
"WKB es exacto"
Es una aproximación, exacta sólo en el límite ℏ → 0. Para algunos potenciales especiales (oscilador armónico), WKB da respuestas exactas, pero generalmente hay correcciones.
"WKB siempre trabaja para cualquier potencial"
Falla cerca de puntos de inflexión (manejados por funciones de Airy) y en potenciales que varían mucho. Los potenciales suaves son los mejores.
"WKB es sólo una aproximación"
Es fundamental. La aproximación principal puede ampliarse sistemáticamente; La reanudación proporciona resultados aún más precisos. Las técnicas WKB se generalizan a problemas multidimensionales y teoría de campos.
"WKB ofrece mecánica clásica"
Une lo cuántico y lo clásico, brindando correcciones cuánticas líderes a los resultados clásicos. El límite ℏ → 0 recupera la mecánica clásica; Los órdenes superiores dan correcciones cuánticas.
Preguntas frecuentes
¿Quién es "W", "K", "B"?
Wentzel, Kramers, Brillouin: tres físicos que desarrollaron el método en 1926. A veces llamado "JWKB", incluido Jeffreys, que desarrolló métodos similares anteriormente para ecuaciones diferenciales.
¿Qué precisión tiene WKB para el oscilador armónico?
¡Exacto! WKB da En = ℏω(n + 1/2) - igual que la solución exacta de Schrödinger. Esto es una coincidencia (o más bien, refleja la estructura especial del oscilador).
¿Qué es el índice de Maslov?
Una corrección topológica a la fase WKB contando puntos de inflexión. Cada punto de inflexión suave contribuye con una fase π/2. El 1/2 en la fórmula de Bohr-Sommerfeld proviene de dos puntos de inflexión que contribuyen a π total.
¿Puede WKB manejar problemas multidimensionales?
Sí, el WKB multidimensional tiene una estructura rica (cáusticas, puntos focales). La "teoría de Maslov-Arnold" generaliza el índice 1D de Maslov.
Fuentes
Griffiths, DJ (2018). Introducción a la Mecánica Cuántica , 3ª ed.
Bender, CM, Orszag, SA (1999). Métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros . Saltador.
Sakurai, J. J., Napolitano, J. (2017). Mecánica cuántica moderna , 2ª ed.
Kramers, HA (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung." Zeitschrift für Physik , 39(10-11), 828–840.