Contenido
Introducción La configuración Números cuánticos Niveles de energía Funciones de onda Estructura fina División hiperfina El cambio de cordero Conceptos erróneos Preguntas frecuentes Fuentes Introducción
El átomo de hidrógeno (un protón y un electrón) es el banco de pruebas más limpio de la mecánica cuántica. Su ecuación de Schrödinger se puede resolver exactamente, produciendo la famosa fórmula de Rydberg para líneas espectrales y un conjunto completo de estados propios de energía etiquetados por números cuánticos (n, ℓ, m, ms ). La concordancia entre teoría y experimento es extraordinaria; Los refinamientos a través de estructura fina, división hiperfina, desplazamiento Lamb y correcciones QED continúan en el nivel de partes por billón en la actualidad.
Este artículo analiza la solución mecánico-cuántica estándar, los números cuánticos, las funciones de onda y las pequeñas correcciones que convierten la concordancia aproximada en una concordancia de precisión con el experimento.
La configuración
Un electrón de masa m y carga −e se mueve en el potencial de Coulomb V(r) = −e²/(4πε₀r) de un protón. Al tratar al protón como infinitamente pesado (una buena primera aproximación), la ecuación de Schrödinger queda:
[−(ℏ²/2m)∇² − e²/(4πε₀r)] ψ = Eψ
La simetría esférica permite la separación de variables: ψ(r,θ,φ) = R(r)Yℓm (θ,φ), donde Yℓm son armónicos esféricos. La ecuación radial tiene soluciones analíticas en términos de polinomios de Laguerre asociados [1 ].
Números cuánticos
Cada estado se caracteriza por cuatro números cuánticos:
n (principal): 1, 2, 3, ... Determina la energía.ℓ (momento angular orbital): 0, 1, ..., n−1.m (magnético): −ℓ, −ℓ+1, ..., ℓ.ms (giro): ±½.
Notación
ℓ = 0 se llama s, ℓ = 1 es p, ℓ = 2 es d, ℓ = 3 es f. Entonces 1s es n=1, ℓ=0; 2p es n=2, ℓ=1; etc. La degeneración del nivel de energía n (ignorando el espín) es n² (de ℓ = 0 a n−1 con 2ℓ+1 m valores cada uno).
Niveles de energía
Las energías del estado ligado son:
En = −13,6 eV/n²
o más precisamente, En = −metroe e⁴/(8ε₀²h²n²) = −RH /n², con RH = 13,605693 eV (la energía de Rydberg).
La fórmula de Rydberg
Las transiciones entre niveles emiten o absorben fotones con frecuencias:
ν = R[1/nf ² − 1/nortei ²]
Esto reproduce las series espectrales del hidrógeno de Lyman, Balmer, Paschen, Brackett y Pfund. El primer gran éxito de Schrödinger en 1926 fue derivar esta fórmula de su ecuación [2 ].
Energía de ionización
Para sacar el electrón del estado fundamental (n = 1) se necesitan 13,6 eV, la energía de ionización del hidrógeno, medida con precisión y que coincide con la teoría con muchos decimales.
Funciones de onda
Las funciones de onda completa son productos de partes radiales y angulares:
ψnℓm (r, θ, φ) = Rnℓ (r) Yℓm (θ, φ)
Estado fundamental (1s)
ψ100 = (1/√π) (1/a₀)^(3/2) e^(−r/a₀), con a₀ = 4πε₀ℏ²/(me e²) = 5,29 × 10⁻¹¹ m, el radio de Bohr. Esféricamente simétrica; desintegración exponencial del núcleo.
2s y 2p
2s tiene un nodo radial. 2p tiene nodos angulares (los tres orbitales p apuntan a lo largo de x, y, z, con lóbulos de signo opuesto).
norte superior
Para n más grande, ℓ, más nodos y estructura angular más compleja. Las formas orbitales (s esférica, p en forma de mancuerna, d de cuatro lóbulos, f de ocho lóbulos) son estándar en química.
Estructura fina
La solución simple de Schrödinger ignora los efectos relativistas. Incluirlos da la "estructura fina": pequeñas divisiones de los niveles de energía [3 ].
Tres correcciones
Corrección de energía cinética relativista: T = p²/2m + p⁴/(8m³c²) + ...
Interacción espín-órbita: el espín del electrón se acopla a su movimiento orbital en el campo del protón.
Término de Darwin: una corrección relativista concentrada en el origen.
Las tres correcciones son de orden α² × En , donde α ≈ 1/137 es la constante de estructura fina. Combinados, cambian los niveles de energía en cantidades que eliminan algunas degeneraciones y producen la estructura multiplete observada.
Momento angular total
La estructura fina mezcla estados con el mismo momento angular total j = ℓ ± ½. Los estados están etiquetados por n, ℓ, j (y mj ). El nivel 2p se divide en 2p½ y 2p3/2 .
División hiperfina
El protón tiene su propio giro y momento magnético. La interacción entre el momento magnético del electrón y el momento magnético del protón divide aún más los niveles: la estructura hiperfina [4 ].
La línea de 21 cm
El estado fundamental del hidrógeno se divide en dos mediante la interacción hiperfina. La diferencia de energía corresponde a una transición a 1420 MHz, o longitud de onda de 21 cm. Esta es la famosa "línea de 21 cm" utilizada en radioastronomía para mapear el hidrógeno atómico en toda la Vía Láctea y más allá.
Escala de división hiperfina
Las correcciones hiperfinas son del orden (me /mp ) α² × En , más pequeña que la estructura fina por la relación de masa electrón-protón (~10⁻³). Para el estado fundamental del hidrógeno, la división es ~6 × 10⁻⁶ eV.
El cambio de cordero
En 1947, Willis Lamb midió una pequeña diferencia de energía entre los 2½ y 2p½ estados del hidrógeno que la ecuación de Dirac predijo que eran degenerados [5 ]. La división (~1057 MHz) es la Turno de cordero .
El cambio proviene de la electrodinámica cuántica, específicamente de la interacción del electrón con las fluctuaciones del vacío del campo electromagnético. Bethe (1947) dio un cálculo no relativista [6 ]; El QED moderno calcula el cambio a partes con una precisión de 10⁹.
El cambio de Lamb fue un gran triunfo de la electrodinámica cuántica. Lamb ganó el Premio Nobel de 1955 por su medición; Bethe, Tomonaga, Schwinger y Feynman compartieron varios premios por el marco teórico.
Conceptos erróneos comunes
"La ecuación de Schrödinger da toda la física del hidrógeno"
Da la estructura bruta. La estructura fina, la hiperfina y el desplazamiento de Lamb requieren QED relativista.
"Los electrones orbitan en círculos alrededor del núcleo"
El viejo modelo de Bohr. La imagen cuántica tiene electrones en orbitales: distribuciones de probabilidad, no caminos clásicos.
"Los niveles de energía están determinados solo por n"
Para la ecuación de Schrödinger no relativista, sí. Con correcciones relativistas, la energía depende tanto de n como de j (y ligeramente de ℓ mediante correcciones QED).
"La línea de 21 cm es una oscilación del átomo de 21 cm de longitud de onda"
Es la longitud de onda del fotón emitido en la transición hiperfina. El átomo en sí es mucho más pequeño (~angstrom).
Preguntas frecuentes
¿Por qué la fórmula de Rydberg es tan precisa?
Porque el potencial de Coulomb da un problema exactamente solucionable en QM no relativista. Las pequeñas correcciones de la relatividad, los efectos del vacío y el efecto de masa reducida son todas calculables y diminutas.
¿Cuál es el tamaño de un átomo de hidrógeno?
El radio de Bohr a₀ = 5,29 × 10⁻¹¹ m es la escala característica. El orbital 1s tiene ⟨r⟩ = 1,5 a₀. Los estados superiores son más grandes; el enésimo estado tiene ⟨r⟩ ~ n²a₀.
¿Cómo se mide hoy el espectro del hidrógeno?
Con los peines de frecuencia, la espectroscopia de precisión alcanza partes por 10¹⁵ en la transición de 1s-2s. El espectro del hidrógeno es el espectro atómico medido con mayor precisión.
¿Cuál es el acertijo del radio de protones?
Las mediciones de hidrógeno muónico dieron un radio de protón ligeramente diferente al de las mediciones electrónicas. La discrepancia ahora se está resolviendo con una mejor teoría y experimentos adicionales [7 ].
¿Hay estados ligados con ℓ negativo?
No, la geometría requiere ℓ ≥ 0. El número cuántico principal n = ℓ + 1 + nr , donde norter ≥ 0 es el número cuántico radial.
Fuentes
Griffiths, DJ (2018). Introducción a la Mecánica Cuántica , 3ª ed.
Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem." Annalen der Physik .
Bethe, HA, Salpeter, EE (1957). Mecánica cuántica de átomos de uno y dos electrones . Saltador.
Bethe, HA, Salpeter, EE (1957). op. cit.
Lamb, WE, Retherford, RC (1947). "Estructura fina del átomo de hidrógeno mediante método de microondas". Revisión física , 72(3), 241.
Bethe, HA (1947). "El cambio electromagnético de los niveles de energía". Revisión física , 72(4), 339.
Antognini, A., et al. (2013). "Estructura de protones a partir de la medición de frecuencias de transición 2S-2P de hidrógeno muónico". Ciencia , 339(6118), 417–420.