Tabla de contenidos
Introducción Descubrimiento e Historia Estructura matemática Matrices de Pauli y espinores Medición y entrelazamiento Spin en Física Atómica Teorema de giro y estadística Aplicaciones del mundo real Conceptos erróneos Preguntas frecuentes Fuentes y lecturas adicionales Introducción
En el vasto y a menudo contradictorio ámbito de la mecánica cuántica, pocos conceptos son tan fundamentales (y con tanta frecuencia se malinterpretan) como giro cuántico . La física clásica nos proporciona una comprensión muy intuitiva del momento angular: una peonza, la Tierra girando sobre su eje o un patinador artístico que junta los brazos para girar más rápido. Este momento angular clásico, denotado por \( \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \), requiere un objeto físico extendido que se mueva a través del espacio.
El giro cuántico, sin embargo, desafía por completo esta intuición clásica. Es un intrínseco Forma de momento angular transportado por partículas elementales, partículas compuestas (hadrones) y núcleos atómicos. El giro no es una consecuencia de la rotación espacial; más bien, es una propiedad cuántica profundamente arraigada, muy parecida a la masa o la carga eléctrica. Aunque un electrón se trata matemáticamente como una partícula puntual sin extensión física espacial, posee este momento angular intrínseco. Es exactamente esta propiedad la que da lugar a los momentos magnéticos fundamentales de las partículas, dictando la estructura de la materia y el comportamiento del universo tanto a escala microscópica como macroscópica.
En este completo artículo, profundizaremos en las profundidades del espín cuántico. Exploraremos su descubrimiento histórico, el riguroso marco matemático de la simetría SU(2) que la describe, las complejidades de las matrices de Pauli y las formas revolucionarias en que el espín gobierna la física atómica, el entrelazamiento cuántico y las aplicaciones tecnológicas modernas como la resonancia magnética y la computación cuántica.
Descubrimiento e Historia
La comprensión de que las partículas poseen un momento angular intrínseco no se produjo de la noche a la mañana. Fue el resultado de un viaje que cambió paradigmas a través de la física de principios del siglo XX, uniendo el electromagnetismo clásico y la naciente teoría cuántica.
El experimento de Stern-Gerlach (1922)
La historia comienza invariablemente con el experimento pionero realizado por Otto Stern y Walther Gerlach en 1922. Dispararon un rayo de átomos de plata eléctricamente neutros a través de un campo magnético no homogéneo. Según la física clásica, los momentos dipolares magnéticos de los átomos de plata deberían estar orientados aleatoriamente, lo que provoca una mancha continua del haz en la pantalla del detector. Sin embargo, Stern y Gerlach observaron algo sorprendente: el rayo se dividió en exactamente dos rastros distintos .
Este fenómeno, conocido como cuantificación espacial, indicó que el momento magnético del átomo de plata (y, por extensión, su momento angular) sólo podía adoptar valores discretos y cuantificados. En aquel momento, esto se atribuyó en parte al momento angular orbital del electrón más externo. No fue hasta más tarde que los físicos se dieron cuenta de la verdadera fuente de esta división en dos estados.
La hipótesis de Goudsmit-Uhlenbeck (1925)
En 1925, Samuel Goudsmit y George Uhlenbeck, dos jóvenes físicos holandeses, propusieron una idea radical: el propio electrón posee un momento angular intrínseco (espín) de \( \hbar/2 \) y un momento magnético correspondiente de un magnetón de Bohr (\( \mu_B \)). Plantearon esta hipótesis para explicar el anómalo efecto Zeeman (la división de las líneas espectrales en un campo magnético que la teoría clásica no podía explicar) y la fina estructura de los espectros del hidrógeno.
Su propuesta encontró resistencia inmediata. El gran Wolfgang Pauli se opuso firmemente. Calculó que si el electrón fuera una esfera giratoria clásica, su superficie tendría que moverse más rápido que la velocidad de la luz para generar el momento angular requerido, una violación directa de la relatividad especial. A pesar de estas paradojas clásicas, la hipótesis del espín coincidía perfectamente con los datos empíricos.
Precesión de Tomás (1926)
Llewellyn Thomas proporcionó una pieza crítica del rompecabezas en 1926. Demostró que un efecto cinemático relativista, ahora conocido como precesión de Thomas, introdujo un factor de \(1/2 \) en los cálculos del acoplamiento espín-órbita. Este factor resolvió perfectamente una discrepancia de un factor de dos entre las predicciones teóricas de Goudsmit y Uhlenbeck y los datos espectroscópicos experimentales, reivindicando la hipótesis del espín.
Ecuación relativista de Dirac (1928)
El triunfo teórico definitivo del espín cuántico se produjo en 1928, cuando Paul Dirac formuló la ecuación de Dirac. Buscando una ecuación de la mecánica cuántica que fuera compatible con la relatividad especial, Dirac descubrió una ecuación que requería inherentemente que el electrón fuera descrito por un espinor de cuatro componentes. Sorprendentemente, el giro no se incluyó en la ecuación de Dirac como una suposición ad hoc; Naturalmente, surgió como una consecuencia fundamental de la fusión de la relatividad especial con la mecánica cuántica. El trabajo de Dirac demostró definitivamente que el espín es un fenómeno cuántico profundamente relativista.
Estructura matemática
Para comprender verdaderamente el espín cuántico, hay que abandonar la imagen física de una esfera en rotación y abrazar el lenguaje matemático del álgebra lineal, la teoría de grupos y las álgebras de Lie. El giro se formaliza matemáticamente mediante la teoría de los operadores de momento angular.
Relaciones de conmutación y álgebras de mentira
En mecánica cuántica, el espín está representado por un operador vectorial \( \vec{S} = (S_x, S_y, S_z) \). Estos componentes no son variables clásicas; son operadores hermitianos que actúan sobre un espacio de Hilbert complejo. Obedecen las relaciones fundamentales de conmutación del momento angular, que definen el álgebra de Lie \(\mathfrak{su}(2)\):
\[ [S_i, S_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} S_k \]
donde \( \epsilon_{ijk} \) es el tensor antisimétrico de Levi-Civita. Esta no conmutatividad es el corazón matemático de la incertidumbre cuántica. Debido a que \( [S_x, S_y] \neq 0 \), no se pueden conocer simultáneamente los valores exactos del giro de una partícula a lo largo de los ejes x e y.
El operador Casimir y los estados propios
Construimos el operador de magnitud de espín total, \( S^2 = S_x^2 + S_y^2 + S_z^2 \). Sorprendentemente, \( S^2 \) conmuta con cada componente individual:
\[ [S^2, S_i] = 0 \quad \text{for } i \in \{x, y, z\} \]
Debido a que conmutan, \( S^2 \) y un componente elegido (generalmente \( S_z \)) pueden compartir un conjunto de estados propios simultáneos, denotados por kets \( |s, m_s\rangle \). Al definir operadores de subida y bajada (escalera) \( S_\pm = S_x \pm iS_y \), se pueden derivar algebraicamente los valores propios permitidos:
Valores propios de \( S^2 \): \( \hbar^2 s(s+1) \), donde el número cuántico de espín \( s \) puede ser un entero no negativo o un semientero: \( 0, 1/2, 1, 3/2, 2, \dots \) Valores propios de \( S_z \): \( \hbar m_s \), donde el número cuántico magnético \( m_s \) varía de \( -s \) a \( +s \) en pasos enteros. Hay exactamente \( 2s + 1 \) estados posibles para un giro dado \( s \).
Esta derivación algebraica demuestra que el espín debe cuantificarse en múltiplos enteros o semienteros de \( \hbar \). A diferencia del momento angular orbital (\( \ell \)), que está restringido a números enteros debido a condiciones de contorno espacial (las funciones de onda deben tener un solo valor en el espacio), el espín intrínseco no tiene tal restricción espacial, lo que permite la existencia de espines semienteros.
Matrices de Pauli y espinores
Para las partículas fundamentales más ubicuas (electrones, protones, neutrones y quarks), el espín es \( s = 1/2 \). Esto significa que \( m_s \) puede ser \( +1/2 \) ("girar hacia arriba", \( |\uparrow\rangle \)) o \( -1/2 \) ("girar hacia abajo", \( |\downarrow\rangle \)). El espacio de estados es un espacio vectorial complejo bidimensional (\(\mathbb{C}^2\)).
Las matrices de Pauli
En base a esto, los operadores de espín son proporcionales a las famosas matrices de Pauli \( \sigma_i \):
\[ S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma_i \]
Las matrices de Pauli se definen explícitamente como:
\( \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 y 1 \\ 1 y 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad
\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 y 0 \\ 0 y -1 \end{pmatrix} \)
Estas matrices poseen propiedades notables: son hermitianas (\( \sigma_i^\dagger = \sigma_i \)), involutivas (\( \sigma_i^2 = I \)) y no dejan rastro. Satisfacen la relación algebraica:
\[ \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij}I + i \epsilon_{ijk} \sigma_k \]
Spinors y la rotación de 720 grados
Un estado de espín 1/2 está representado por un vector de columna complejo de dos componentes llamado espinor , \( \chi = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \), donde \( |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 \). Los espinores se comportan de manera muy diferente a los vectores espaciales estándar bajo rotación. El operador unitario para rotar un estado de espín en un ángulo \( \theta \) alrededor de un eje unitario \( \hat{n} \) es generado por el operador de espín:
\[ R_{\hat{n}}(\theta) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar} \vec{S} \cdot \hat{n} \theta\right) = \exp\left(-i \frac{\vec{\sigma} \cdot \hat{n}}{2} \theta\right) \]
Usando la fórmula de Euler para matrices de Pauli, esto se convierte en:
\[ R_{\hat{n}}(\theta) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) I - i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) (\vec{\sigma} \cdot \hat{n}) \]
Esto introduce la extraña dependencia del "medio ángulo". Si gira un espinor 360 grados completos (\( \theta = 2\pi \)), el operador produce \( \cos(\pi) = -1 \). El espinor adquiere signo negativo: \( |\psi\rangle \to -|\psi\rangle \). Si bien las probabilidades observables (\( |\psi|^2 \)) permanecen sin cambios, este cambio de fase se puede medir físicamente en experimentos de interferencia cuántica (como la interferometría de neutrones). Para devolver el espinor a su estado original exacto, incluida la fase, debe girarlo 720 grados (\( 4\pi \)). Esto refleja el hecho topológico de que SU(2) es la doble cubierta simplemente conectada del grupo de rotación 3D SO(3).
Medición y entrelazamiento
La extraña naturaleza del espín se demuestra más vívidamente mediante la medición.
Experimentos secuenciales de Stern-Gerlach
Considere pasar un haz de partículas de espín 1/2 no polarizadas a través de un aparato de Stern-Gerlach orientado a lo largo del eje z (SGz). Se divide en dos haces: \( |+z\rangle \) y \( |-z\rangle \). Si bloqueamos el haz \( |-z\rangle \) y pasamos el haz puro \( |+z\rangle \) a través de un segundo SGz, el 100% de las partículas emergen como \( |+z\rangle \). El estado es definitivo.
Ahora, tome ese haz puro \( |+z\rangle \) y páselo a través de un aparato SGx (orientado a lo largo del eje x). El haz se divide nuevamente, el 50% emerge como \( |+x\rangle \) y el 50% como \( |-x\rangle \). El estado \( |+z\rangle \) es una superposición de estados x: \( |+z\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|+x\rangle + |-x\rangle) \).
La máxima rareza cuántica ocurre si tomamos el haz puro \( |+x\rangle \) del segundo aparato y lo pasamos a través de un tercero aparato orientado hacia atrás a lo largo del eje z (SGz). Aunque filtramos explícitamente todas las partículas \( |-z\rangle \) al principio, el tercer aparato mide el 50% \( |+z\rangle \) y el 50% \( |-z\rangle \). La medición del giro x destruyó por completo el conocimiento del giro z. Esta es una manifestación física directa de los operadores no conmutantes \( [S_x, S_z] \neq 0 \) y el principio de incertidumbre de Heisenberg aplicado al momento angular.
Spin y entrelazamiento cuántico (paradoja EPR)
Spin proporciona el marco teórico más claro para explorar el entrelazamiento cuántico. En 1935, Einstein, Podolsky y Rosen (EPR) formularon una paradoja para argumentar que la mecánica cuántica era incompleta. Más tarde, David Bohm reformuló esta paradoja utilizando partículas de espín 1/2.
Imagine una partícula de espín 0 (como un pión neutro) que se desintegra en un electrón y un positrón. Por conservación del momento angular, el giro total del par debe ser cero. Están en el estado singlete :
\[ |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\uparrow\rangle_A |\downarrow\rangle_B - |\downarrow\rangle_A |\uparrow\rangle_B) \]
Los giros están perfectamente anticorrelacionados. Si Alice mide el giro de la partícula A a lo largo del eje z y encuentra "arriba", instantáneamente sabe que la medición de Bob de la partícula B a lo largo del eje z dará como resultado "abajo", independientemente de qué tan separados estén. Esta "acción espeluznante a distancia" perturbó a Einstein. Sin embargo, John Bell formuló el teorema de Bell en 1964, proporcionando desigualdades matemáticamente rigurosas que cualquier teoría clásica de variables ocultas debe obedecer. Experimentos posteriores, en particular los de Alain Aspect en la década de 1980, utilizando polarizaciones de fotones correlacionadas (análogas al espín), violaron definitivamente las desigualdades de Bell. El universo es fundamentalmente no local; el estado de espín entrelazado es un sistema cuántico único e indivisible que abarca distancias macroscópicas.
Spin en Física Atómica
La estructura de la tabla periódica, los colores de la luz emitida por las estrellas y las propiedades magnéticas de los materiales están dictados por el espín que interactúa con su entorno.
Acoplamiento órbita-giro y estructura fina
Cuando un electrón orbita alrededor del núcleo, desde su estado de reposo, "ve" el núcleo cargado positivamente que lo orbita. Esta carga en movimiento genera un campo magnético. El momento magnético intrínseco del electrón (debido a su espín) interactúa con este campo magnético interno. Esta energía de interacción viene dada por el término de acoplamiento espín-órbita, \( H_{SO} \propto \vec{L} \cdot \vec{S} \).
Este acoplamiento, junto con las correcciones relativistas de la energía cinética del electrón y el término de Darwin (un efecto de mancha cuántica del núcleo), crea el estructura fina de espectros atómicos. Hace que los niveles de energía con el mismo número cuántico principal \( n \) se dividan ligeramente en función de su momento angular total \( \vec{J} = \vec{L} + \vec{S} \).
Estructura hiperfina
El núcleo atómico también posee un espín intrínseco, generalmente indicado por \( \vec{I} \). El núcleo crea su propio diminuto momento dipolar magnético. La interacción entre el espín del electrón \( \vec{S} \) y el espín nuclear \( \vec{I} \) se denomina interacción hiperfina. Esta división de energía es aproximadamente mil veces más pequeña que la estructura fina. El ejemplo más famoso es la línea de 21 centímetros (1420 MHz) de hidrógeno neutro. Esta emisión se produce cuando los espines del electrón y del protón cambian de un estado alineado (paralelo) a un estado antialineado (antiparalelo). Esta línea de 21 cm es la herramienta fundamental de la radioastronomía utilizada para mapear el medio interestelar de la galaxia.
El efecto Zeeman
Cuando se aplica un campo magnético externo a un átomo, sus niveles de energía se dividen, lo que provoca que las líneas espectrales se separen en múltiples componentes. Este es el efecto Zeeman. El hamiltoniano incluye un término \( H_Z = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} \). Debido a que tanto el momento angular orbital como el espín contribuyen al momento magnético total, la división es compleja. El descubrimiento del efecto Zeeman anómalo —que la física clásica no podía explicar— fue el principal impulsor de la postulación inicial del espín del electrón. La división precisa de la energía está fuertemente influenciada por el factor g de Landé, una constante de la mecánica cuántica que caracteriza el momento magnético y el momento angular del átomo.
Teorema de giro y estadística
Quizás la consecuencia más profunda del espín cuántico sea el teorema de la estadística de espín, rigurosamente demostrado por Wolfgang Pauli en 1940 utilizando la teoría relativista de campos cuánticos. El teorema establece una conexión rígida entre el espín intrínseco de una partícula y las reglas estadísticas cuánticas que obedece.
Fermiones versus bosones
Todas las partículas del universo se clasifican en una de dos categorías:
Fermiones: Partículas con espín semientero (\( 1/2, 3/2, 5/2 \dots \)), como electrones, protones, neutrones y quarks. La función de onda de muchos cuerpos de fermiones idénticos debe ser completamente antisimétrico bajo el intercambio de dos partículas cualesquiera: \( \Psi(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) = -\Psi(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) \). Bosones: Partículas con espín entero (\( 0, 1, 2 \dots \)), como fotones, gluones, bosones W/Z y el bosón de Higgs. La función de onda de muchos cuerpos de bosones idénticos debe ser completamente simétrico bajo intercambio: \( \Psi(\dots, x_i, \dots, x_j, \dots) = +\Psi(\dots, x_j, \dots, x_i, \dots) \).
El principio y la cuestión de la exclusión de Pauli
Para los fermiones, si dos partículas ocuparan exactamente el mismo estado cuántico (\( x_i = x_j \)), el requisito de antisimetría significaría \( \Psi = -\Psi \), lo que fuerza a \( \Psi = 0 \). Esto deriva matemáticamente el Principio de exclusión de Pauli : no hay dos fermiones idénticos que puedan ocupar el mismo estado cuántico simultáneamente.
Este principio es la única razón por la que existe la materia sólida. Evita que todos los electrones de un átomo colapsen en el orbital de menor energía. En cambio, forman capas atómicas, lo que conduce directamente a las propiedades químicas de los elementos, la estructura de la tabla periódica y la fuerza repulsiva que impide que la materia atraviese otra materia (presión de degeneración electrónica). La presión de degeneración es también lo que impide que las enanas blancas y las estrellas de neutrones colapsen bajo su inmensa gravedad.
Condensación de Bose-Einstein
Los bosones, por el contrario, no tienen tal restricción. De hecho, muestran una preferencia estadística por ocupar el lo mismo estado cuántico. A temperaturas extremadamente bajas, una cantidad macroscópica de bosones puede colapsar en el estado de energía más bajo, formando un nuevo estado de la materia conocido como Condensado de Bose-Einstein (BEC). Esta coherencia cuántica macroscópica es responsable de fenómenos como la superconductividad (donde pares de electrones, llamados pares de Cooper, actúan como bosones compuestos) y la superfluidez (helio líquido que fluye con viscosidad cero).
Aplicaciones del mundo real
El giro cuántico no es simplemente una curiosidad teórica; es la base de industrias multimillonarias y tecnologías de vanguardia.
Imágenes por resonancia magnética (MRI)
La resonancia magnética, un elemento básico del diagnóstico médico moderno, se basa directamente en el espín cuántico de los núcleos atómicos, principalmente los protones (núcleos de hidrógeno) que abundan en el agua y la grasa del cuerpo humano. En un fuerte campo magnético externo, estos protones de espín 1/2 se alinean en paralelo (baja energía) o antiparalelo (alta energía) al campo. Al aplicar un pulso de radiofrecuencia (RF) exactamente a la frecuencia de precesión de Larmor de los espines, los protones absorben energía y cambian sus estados de espín (resonancia magnética nuclear, RMN). Cuando se apaga el pulso de RF, los espines se relajan y vuelven a su estado de equilibrio, emitiendo una señal de radio. Al analizar los tiempos de relajación y utilizar gradientes magnéticos espaciales, las computadoras pueden construir imágenes en 3D increíblemente detalladas y no invasivas de los tejidos blandos del interior del cuerpo.
Espintrónica
La electrónica tradicional depende únicamente de la carga del electrón para procesar y almacenar información. Espintrónica (electrónica de transporte de espín) explota el estado de espín del electrón además de su carga. Un avance clave fue el descubrimiento de la Magnetorresistencia Gigante (GMR) por Albert Fert y Peter Grünberg en 1988 (por el que ganaron el Premio Nobel en 2007). En los dispositivos GMR, la resistencia eléctrica cambia dramáticamente dependiendo de las alineaciones relativas de espín en capas alternas de películas delgadas magnéticas y no magnéticas. Esta tecnología revolucionó el almacenamiento de datos, lo que llevó a aumentos masivos en la capacidad de los discos duros de las computadoras, así como al desarrollo de la memoria magnética de acceso aleatorio (MRAM) no volátil.
Computación cuántica
Las computadoras cuánticas utilizan bits cuánticos (qubits) que pueden existir en superposiciones de 0 y 1, lo que permite cálculos exponencialmente más rápidos para algoritmos complejos específicos. El sistema spin-1/2 es el modelo matemático por excelencia de un qubit. Los investigadores están construyendo activamente qubits físicos utilizando espines de electrones confinados en puntos cuánticos semiconductores (qubits de espín en silicio) o espines nucleares y de electrones asociados con centros de nitrógeno vacante (NV) en redes de diamantes. Controlar, entrelazar y medir estos delicados estados de espín con alta fidelidad es uno de los caminos más prometedores hacia la computación cuántica tolerante a fallos.
Conceptos erróneos comunes
"Girar significa que la partícula está literalmente girando"
Este es el mito más generalizado. El espín es una forma intrínseca, puramente mecánica cuántica, de momento angular. Un electrón se considera una partícula puntual; no tiene radio ni volumen. No puede estar "girando" en ningún sentido clásico. El término "giro" es un artefacto histórico que se mantuvo.
"El giro es sólo otra forma de momento angular orbital"
Si bien ambos son momentos angulares y satisfacen las mismas relaciones de conmutación del álgebra de Lie, sus orígenes y valores permitidos son distintos. El momento angular orbital (\( \ell \)) surge del movimiento a través del espacio y está restringido a números enteros. El espín (\( s \)) es intrínseco y puede ser semientero.
"Sólo los fermiones tienen espín"
Todas las partículas poseen un número cuántico de espín, incluidos los bosones. Los fotones son partículas de espín 1, los gravitones (hipotéticos) son partículas de espín 2 y el bosón de Higgs es la única partícula fundamental conocida con un espín de exactamente 0 (una partícula escalar).
"Puedes medir la dirección exacta hacia la que apunta un giro"
Debido a la no conmutatividad de los operadores de espín, solo se puede tener un conocimiento definitivo de la magnitud total del espín (\( S^2 \)) y el componente de espín a lo largo de uno eje único (normalmente denominado eje z) simultáneamente. Los componentes a lo largo de los otros dos ejes ortogonales están completamente indeterminados.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el giro más pequeño distinto de cero?
El giro más pequeño distinto de cero es \( 1/2 \). Esto caracteriza a los electrones, neutrinos y quarks. El giro 0 (bosón de Higgs) es el valor de giro más pequeño absoluto.
¿Por qué la ecuación de Dirac predice el giro?
La ecuación de Dirac busca unificar la mecánica cuántica con la relatividad especial. Al exigir que la ecuación de onda sea de primer orden tanto en el tiempo como en el espacio para satisfacer la invariancia de Lorentz, Dirac tuvo que utilizar funciones de onda multicomponentes (espinores) y matrices (matrices gamma). Esta estructura matemática acomoda y dicta naturalmente un momento angular intrínseco de \( \hbar/2 \) sin que se inserte manualmente en la teoría.
¿Puede una partícula cambiar su giro?
La magnitud de espín intrínseca (\( s \)) es una propiedad inmutable de un tipo de partícula; un electrón siempre será espín-1/2. Sin embargo, la orientación o el estado del espín (por ejemplo, \( m_s = +1/2 \) o \( -1/2 \)) puede cambiar fácilmente mediante interacciones con campos magnéticos u otras partículas (por ejemplo, absorbiendo un fotón).
¿Qué pasa con los fotones: tienen espín 1, pero sólo dos polarizaciones?
Las partículas masivas de espín 1 (como los bosones W y Z) tienen tres estados de espín distintos (\( m_s = -1, 0, 1 \)). Los fotones, sin embargo, no tienen masa y viajan a la velocidad de la luz. La relatividad dicta que las partículas sin masa sólo pueden exhibir polarizaciones transversales (estados de helicidad). El estado longitudinal (\( m_s = 0 \)) está prohibido para partículas sin masa.
Fuentes y lecturas adicionales
Gerlach, W. y Stern, O. "Der experimentelle Nachweis der Richtungsquantelung im Magnetfeld". Zeitschrift für Physik 9, núm. 1 (1922): 349-352. Uhlenbeck, G. E. y Goudsmit, S. "Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des internalen Verhaltens jedes einzelnen Elektrons". Naturwissenschaften 13, núm. 47 (1925): 953-954. Dirac, P. A. M. "La teoría cuántica del electrón". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A 117, núm. 778 (1928): 610-624. Sakurai, J. J. y Napolitano, Jim. Mecánica cuántica moderna. 2ª ed., Cambridge University Press, 2017. Griffiths, David J. y Schroeter, Darrell F. Introducción a la mecánica cuántica. 3.a ed., Cambridge University Press, 2018. Pauli, Wolfgang. "La conexión entre el giro y la estadística". Revisión física 58, no. 8 (1940): 716-722. Tomonaga, Sin-Itiro. La historia del giro. Prensa de la Universidad de Chicago, 1997.