Tabla de contenidos
1. Introducción al mundo cuántico 2. Contexto histórico: el nacimiento de la mecánica ondulatoria 3. Una derivación heurística de la ecuación 4. Las dos formas fundamentales: TDSE y TISE 5. El marco matemático: el espacio de Hilbert y los operadores 6. Interpretación: Lo que realmente significa la función de onda 7. Ejemplos completos elaborados
8. Aplicaciones del mundo real 9. El límite clásico y el teorema de Ehrenfest 10. Más allá de Schrödinger: dónde se desmorona 11. Conceptos erróneos comunes 12. Preguntas frecuentes 13. Fuentes y lecturas adicionales
1. Introducción al mundo cuántico
La ecuación de Schrödinger es la piedra angular fundamental de la mecánica cuántica no relativista. De la misma manera que la segunda ley del movimiento de Sir Isaac Newton (\(F = ma\)) gobierna la trayectoria de los objetos macroscópicos clásicos, la ecuación de Schrödinger dicta la evolución dinámica de los estados cuánticos microscópicos. Describe cómo el estado cuántico de un sistema físico cambia con el tiempo, transformando fundamentalmente nuestra comprensión de la realidad de un universo determinista mecánico a un reino probabilístico caracterizado por funciones de onda e incertidumbres inherentes.
En esencia, esta elegante construcción matemática determina la función de onda, una amplitud de probabilidad de valor complejo a partir de la cual se pueden derivar todas las propiedades observables de un sistema. Ya sea que esté examinando las trayectorias erráticas de los electrones en un cristal semiconductor, las órbitas estables de los átomos que componen nuestras estructuras biológicas o los extraños fenómenos de túneles utilizados en la computación cuántica moderna, la ecuación de Schrödinger es el árbitro matemático definitivo.
En esta guía completa, nos embarcaremos en un viaje riguroso a través de los orígenes, derivaciones matemáticas, aplicaciones prácticas e implicaciones filosóficas de la ecuación de Schrödinger. Al explorar las complejas matemáticas (incluidos operadores, valores propios y ecuaciones diferenciales parciales), desarrollará una comprensión sólida a nivel de posgrado de este monumental triunfo de la física.
2. Contexto histórico: el nacimiento de la mecánica ondulatoria
Para apreciar verdaderamente la ecuación de Schrödinger, hay que comprender la crisis de la física a principios del siglo XX. La mecánica clásica, el electromagnetismo y la termodinámica habían demostrado ser tremendamente exitosas. Sin embargo, empezaron a surgir anomalías evidentes. La resolución de Max Planck de la catástrofe por radiación del cuerpo negro en 1900 introdujo el concepto de energía cuantificada. La explicación que Albert Einstein dio en 1905 sobre el efecto fotoeléctrico sugería que la luz misma está compuesta de cuantos discretos (fotones). En 1913, Niels Bohr formuló un modelo del átomo de hidrógeno proponiendo que los electrones residen en órbitas cuantificadas, pero Bohr no pudo explicar fundamentalmente por qué estas órbitas fueron cuantificadas.
Las ondas de materia radical de De Broglie
El salto teórico fundamental se produjo en 1924. Un físico francés llamado Louis de Broglie postuló en su tesis doctoral que la dualidad onda-partícula de la luz podría ser una propiedad universal de toda la materia. Propuso que cualquier partícula en movimiento con momento \(p\) posee una longitud de onda asociada \(\lambda\) dada por:
\( \lambda = \frac{h}{p} \)
donde \(h\) es la constante de Planck. Esta hipótesis revolucionaria, conocida como longitud de onda de De Broglie, implicaba que los electrones (anteriormente considerados estrictamente partículas) deberían exhibir fenómenos ondulatorios como la difracción y la interferencia.
La persecución de Schrödinger en Arosa
A finales de 1925, Peter Debye, consciente de la tesis de De Broglie, sugirió a Erwin Schrödinger que si la materia se comporta como una onda, debe haber una ecuación de onda que la gobierne. Inspirado, Schrödinger se retiró a una cabaña en Arosa, Suiza, durante las vacaciones de invierno. Durante los siguientes meses de 1926, publicó una serie de cuatro artículos innovadores en Annalen der Physik .
Schrödinger buscó una ecuación que proporcionara los niveles de energía de Bohr del hidrógeno como valores propios naturales de una ecuación de onda, muy similar a las frecuencias resonantes discretas de una cuerda de violín vibrante. Lo logró brillantemente. Al mismo tiempo, Werner Heisenberg, Max Born y Pascual Jordan estaban desarrollando la mecánica matricial, una formulación matemáticamente distinta pero físicamente equivalente. Sin embargo, los físicos de la época favorecieron en gran medida el enfoque de Schrödinger porque utilizaba las conocidas ecuaciones diferenciales parciales que prevalecían en la física ondulatoria clásica.
3. Una derivación heurística de la ecuación
Si bien la ecuación de Schrödinger no puede "derivarse" estrictamente de los principios clásicos (es un axioma de la mecánica cuántica), su forma puede motivarse combinando la mecánica ondulatoria clásica con las relaciones de De Broglie y Planck-Einstein.
Considere una onda plana clásica que se propaga en una dimensión:
\( \Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \)
Aquí, \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) es el número de onda y \(\omega = 2\pi\nu\) es la frecuencia angular. Usando las relaciones cuánticas:
Momento: \( p = \hbar k \)
Energía: \( E = \hbar \omega \)
donde \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) es la constante de Planck reducida. La función de onda se puede reescribir en términos de energía y momento:
\( \Psi(x,t) = A \exp\left[ \frac{i}{\hbar} (px - Et) \right] \)
Extraigamos ahora la energía \(E\) y el momento \(p\) tomando derivadas. Tomando la derivada parcial con respecto a la posición \(x\):
\( \frac{\partial \Psi}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar} \Psi \quad \implica \quad p\Psi = -i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x} \)
Al tomar la segunda derivada se obtiene el impulso al cuadrado:
\( p^2 \Psi = -\hbar^2 \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} \)
A continuación, tomando la derivada parcial con respecto al tiempo \(t\):
\( \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{iE}{\hbar} \Psi \quad \implica \quad E\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} \)
En la mecánica clásica no relativista, la energía total \(E\) de una partícula de masa \(m\) en un potencial \(V(x)\) es la suma de sus energías cinética y potencial:
\( E = \frac{p^2}{2m} + V(x) \)
Multiplicando ambos lados por la función de onda \(\Psi\):
\( E\Psi = \frac{p^2}{2m}\Psi + V(x)\Psi \)
Sustituyendo los operadores derivados que derivamos anteriormente se obtiene el unidimensional Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (TDSE) :
\( i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \Psi(x,t) \)
Este argumento heurístico destaca una característica profunda: en la mecánica cuántica, los observables físicos son reemplazados por operadores matemáticos. Específicamente, el operador de momento es \( \hat{p} = -i\hbar \nabla \), y el operador de energía es \( \hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \).
4. Las dos formas fundamentales: TDSE y TISE
La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo (TDSE)
En tres dimensiones, la forma general del TDSE es:
\( i\hbar \frac{\partial \Psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t) \)
donde \( \hat{H} \) es el operador hamiltoniano, que representa la energía total del sistema. Para una sola partícula en un potencial \(V(\mathbf{r})\):
\( \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r}) \)
El TDSE gobierna la evolución determinista de la función de onda a lo largo del tiempo. Es una ecuación diferencial de primer orden en el tiempo. En consecuencia, a diferencia de la ecuación de onda clásica de segundo orden, conocer el estado \(\Psi(\mathbf{r}, 0)\) en un momento inicial determina de forma única el estado para todos los momentos futuros.
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE)
Cuando la energía potencial \(V(\mathbf{r})\) es independiente del tiempo, podemos utilizar el método de separación de variables. Suponemos soluciones de la forma:
\( \Psi(\mathbf{r}, t) = \psi(\mathbf{r}) \phi(t) \)
Sustituyendo esto en el TDSE y dividiendo por \(\psi\phi\) se separa la ecuación en partes espaciales y temporales:
\( i\hbar \frac{1}{\phi} \frac{d\phi}{dt} = \frac{1}{\psi} \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V(\mathbf{r})\psi \right] \)
Dado que el lado izquierdo depende solo de \(t\) y el lado derecho solo de \(\mathbf{r}\), ambos lados deben ser iguales a una constante, que identificamos como la energía total \(E\).
La ecuación temporal se resuelve trivialmente:
\( \phi(t) = e^{-iEt/\hbar} \)
La parte espacial produce el Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (TISE) :
\( \hat{H}\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) \)
Este es un problema clásico de valores propios. Las soluciones \(\psi(\mathbf{r})\) son las funciones propias de energía (o estados estacionarios), y las constantes \(E\) son los valores propios de energía permitidos. Debido a que la dependencia del tiempo es simplemente un factor de fase giratoria \( e^{-iEt/\hbar} \), la densidad de probabilidad \( |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 = |\psi(\mathbf{r})|^2 \) es independiente del tiempo, lo que justifica el término "estado estacionario".
5. El marco matemático: el espacio de Hilbert y los operadores
Para aplicar rigurosamente la ecuación de Schrödinger, debemos fundamentarla en su marco matemático formal, desarrollado principalmente por John von Neumann.
Espacio Hilbert
El estado de un sistema cuántico está representado por un vector (o función de onda) en un espacio de Hilbert complejo, \(\mathcal{H}\). Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial completo equipado con un producto interno. El producto interno de dos funciones de onda \(\psi\) y \(\phi\) en una posición continua se define como:
\( \langle \phi | \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \phi^*(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) d^3r \)
donde \(\phi^*\) es el conjugado complejo de \(\phi\). Este producto interno permite conceptos de longitud (normalización) y ángulo (ortogonalidad).
Operadores hermitianos
En mecánica cuántica, cada observable físico (momento, posición, momento angular) corresponde a un operador hermitiano lineal que actúa en el espacio de Hilbert. Un operador \(\hat{A}\) es hermitiano si es igual a su adjunto (\(\hat{A} = \hat{A}^\dagger\)), es decir:
\( \langle \phi | \hat{A} \psi \rangle = \langle \hat{A} \phi | \psi \rangle \)
Esta propiedad matemática garantiza dos realidades físicas cruciales:
Valores propios reales: Los valores propios de un operador hermitiano son estrictamente reales, lo que garantiza que los resultados de las mediciones físicas (como la energía o el momento) sean números reales.Estados propios ortogonales: Las funciones propias correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales y forman un conjunto de bases completo. Cualquier función de onda arbitraria se puede expresar como una superposición lineal de estos estados propios: \( \Psi = \sum c_n \psi_n \).
6. Interpretación: lo que realmente significa la función de onda
Schrödinger interpretó originalmente la función de onda \(\Psi\) como una distribución literal y difusa de carga física o materia. Sin embargo, esta interpretación colapsó bajo escrutinio, ya que los paquetes de ondas tienden a extenderse con el tiempo, mientras que las partículas como los electrones siempre se detectan como puntos discretos.
La regla nacida
En 1926, Max Born formuló la interpretación estadística aceptada, lo que le valió el Premio Nobel en 1954. Born afirmó que la función de onda en sí misma no es materia físicamente real. En cambio, es un amplitud de probabilidad . La densidad de probabilidad \(P(\mathbf{r}, t)\) de encontrar una partícula en la posición \(\mathbf{r}\) en el tiempo \(t\) está dada por la magnitud al cuadrado de la función de onda:
\( P(\mathbf{r}, t) = |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 = \Psi^*(\mathbf{r}, t)\Psi(\mathbf{r}, t) \)
Normalización
Para que la interpretación de la probabilidad tenga sentido físico, la partícula debe existir en algún lugar en el universo. Por tanto, la integral de la densidad de probabilidad en todo el espacio debe ser exactamente 1:
\( \int |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 d^3r = 1 \)
Sorprendentemente, el TDSE es intrínsecamente unitario. Si una función de onda se normaliza en \(t=0\), la ecuación de Schrödinger garantiza que permanecerá normalizada en todos los tiempos futuros. Esta conservación de la probabilidad está relacionada con la probabilidad de la densidad de corriente \(\mathbf{J}\):
\( \mathbf{J} = \frac{i\hbar}{2m} (\Psi \nabla \Psi^* - \Psi^* \nabla \Psi) \)
Lo cual satisface la ecuación de continuidad: \( \frac{\partial P}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 \).
7. Ejemplos completos elaborados
El verdadero poder de la ecuación de Schrödinger se revela cuando se aplica a potenciales físicos específicos. Al resolver la ecuación bajo diversas condiciones límite, la naturaleza extraña y no intuitiva de la cuantificación cuántica emerge de forma natural.
7.1 Los paquetes de ondas y partículas libres
Considere una partícula que se mueve en el espacio libre sin que actúen fuerzas sobre ella, de modo que \(V(x) = 0\). El TISE se simplifica a:
\( -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi \)
Esta es una ecuación diferencial lineal estándar de segundo orden. Las soluciones son exponenciales complejas (o senos y cosenos):
\( \psi_k(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \)
donde \(k = \sqrt{2mE}/\hbar\). Estos son estados propios de impulso. La solución totalmente dependiente del tiempo para una onda que avanza es:
\( \Psi_k(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} \)
Sin embargo, una onda plana pura se extiende por todo el espacio (su norma es infinita), lo que significa que la posición de la partícula no tiene ninguna restricción (una consecuencia del principio de incertidumbre de Heisenberg, \(\Delta x \Delta p \ge \hbar/2\)). Para construir una partícula localizada, debemos crear un paquete de ondas superponiendo ondas planas de distintos momentos:
\( \Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) e^{i(kx - \omega(k)t)} dk \)
Debido a la relación de dispersión \(\omega(k) = \frac{\hbar k^2}{2m}\), diferentes componentes del momento viajan a diferentes velocidades de fase. En consecuencia, un paquete de ondas cuánticas libres inevitablemente se propaga (dispersa) con el tiempo.
7.2 El pozo cuadrado infinito (partícula en una caja)
Imagine una partícula confinada entre dos paredes impenetrables en \(x=0\) y \(x=L\). El potencial \(V(x)\) es 0 dentro de la caja e infinito fuera. Debido a que la partícula no puede existir donde el potencial es infinito, la función de onda debe desaparecer en los límites: \(\psi(0) = \psi(L) = 0\).
Dentro del pozo, el TISE es idéntico a la partícula libre, lo que produce \(\psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx)\). Aplicando las condiciones de contorno:
\(\psi(0) = 0 \implica B = 0\)
\(\psi(L) = 0 \implica A \sin(kL) = 0\)
Para soluciones no triviales (\(A \neq 0\)), requerimos \(kL = n\pi\), donde \(n\) es un entero estrictamente positivo (\(n = 1, 2, 3, \dots\)). Esto restringe \(k\) a valores discretos \(k_n = \frac{n\pi}{L}\).
Volviendo a conectar esto a la relación de energía \(E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}\), obtenemos los niveles de energía cuantificados:
\( E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \)
Normalizar la función de onda (\(\int_0^L |A \sin(n\pi x/L)|^2 dx = 1\)) produce \(A = \sqrt{2/L}\). Por tanto, las funciones propias normalizadas son:
\( \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \)
Observe que el estado de energía más bajo (\(n=1\)) no es cero. Este es el energía de punto cero , una consecuencia directa del principio de incertidumbre: una partícula estrechamente confinada debe tener una variación de momento significativa.
7.3 El pozo cuadrado finito y el túnel cuántico
Si las paredes de la caja no son infinitas sino que tienen una altura finita \(V_0\), la situación cambia drásticamente. Dividimos el espacio en tres regiones: fuera del pozo a la izquierda (I), dentro del pozo (II) y fuera del pozo a la derecha (III).
Para un estado ligado (\(E < V_0\)), el TISE en las regiones I y III se convierte en:
\( \frac{d^2\psi}{dx^2} = \kappa^2 \psi \quad \text{donde} \quad \kappa = \frac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar} \)
Las soluciones son funciones que decaen exponencialmente: \(\psi_I \sim e^{\kappa x}\) y \(\psi_{III} \sim e^{-\kappa x}\). Esto revela una de las características más sorprendentes de la mecánica cuántica: la función de onda no cae inmediatamente a cero en el punto de inflexión clásico. Se filtra hacia la región prohibida.
Si la barrera tiene un ancho finito, la función de onda de fuga puede surgir del otro lado. Este fenómeno, en el que una partícula atraviesa una barrera de potencial que clásicamente no debería poder superar, se llama túneles cuánticos . La formación de túneles es el mecanismo detrás de la desintegración alfa nuclear, la fusión de estrellas y el funcionamiento de los microscopios de barrido de túneles (STM).
7.4 El oscilador armónico cuántico
Cualquier mínimo potencial arbitrario puede aproximarse localmente como una parábola. Por lo tanto, el potencial del oscilador armónico, \(V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2\), es omnipresente en física y modela todo, desde enlaces moleculares diatómicos hasta vibraciones de red (fonones) y modos de campo electromagnético.
El TISE toma la forma:
\( \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \right] \psi(x) = E\psi(x) \)
Esta ecuación se puede resolver analíticamente usando series de potencias (el método de Frobenius), produciendo soluciones que involucran polinomios de Hermite \(H_n(\xi)\) multiplicados por una envolvente gaussiana:
\( \psi_n(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2} \)
Un enfoque alternativo y muy elegante ideado por Paul Dirac utiliza "operadores de escalera" algebraicos (creación \(\hat{a}^\dagger\) y aniquilación \(\hat{a}\)). Al expresar el hamiltoniano en términos de estos operadores, se deriva fácilmente el espectro de energía cuantificado:
\( E_n = \hbar\omega \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots \)
Aquí nuevamente, la energía del punto cero \(E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\) se manifiesta, asegurando que el sistema nunca esté completamente en reposo.
7.5 El átomo de hidrógeno
El mayor logro del artículo inicial de Schrödinger fue derivar el espectro de energía del átomo de hidrógeno. El potencial es la atracción de Coulomb entre el electrón y el protón:
\( V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} \)
Debido a que se trata de un potencial central (que depende únicamente de la distancia radial \(r\)), el TISE 3D se resuelve mejor en coordenadas esféricas \((r, \theta, \phi)\). El operador laplaciano \(\nabla^2\) se expande y la función de onda se separa en componentes radiales y angulares:
\( \psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_l^{m_l}(\theta, \phi) \)
Las soluciones angulares \(Y_l^{m_l}\) son las armónicos esféricos , que dictan las formas de los orbitales atómicos (bloques s, p, d, f). La ecuación radial produce soluciones basadas en generalizado Polinomios de Laguerre .
El requisito de que la función de onda siga siendo finita y normalizable genera naturalmente tres números cuánticos:
\(n\): El número cuántico principal (\(n = 1, 2, 3, \dots\))
\(l\): El número cuántico del momento angular orbital (\(l = 0, 1, \dots, n-1\))
\(m_l\): El número cuántico magnético (\(m_l = -l, \dots, +l\))
Los niveles de energía resultantes dependen sólo de \(n\) (ignorando la estructura fina):
\( E_n = -\frac{m e^4}{8\epsilon_0^2 h^2} \frac{1}{n^2} \approx -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2} \)
Este resultado coincidía perfectamente con la fórmula empírica de Rydberg y el modelo de Bohr, consolidando la validez de la mecánica ondulatoria.
8. Aplicaciones del mundo real
La ecuación de Schrödinger no es sólo matemática abstracta; es la base teórica de gran parte de la tecnología y la ciencia modernas.
Física de semiconductores: Al resolver la ecuación de Schrödinger para un potencial periódico (una red cristalina), se obtienen funciones de onda de Bloch y estructuras de bandas de energía. Esto explica directamente la diferencia entre conductores, aislantes y semiconductores, lo que llevó a la invención del transistor, los microchips y las computadoras modernas.Química Cuántica: Todo el campo de la química computacional implica encontrar soluciones aproximadas a la ecuación multielectrónica de Schrödinger (utilizando técnicas como Hartree-Fock o la teoría funcional de la densidad) para predecir orbitales moleculares, fuerzas de enlace, velocidades de reacciones químicas y ayudar en el diseño de fármacos.Láseres y Óptica: Los principios de la emisión estimulada requieren comprender las probabilidades de transición entre estados atómicos cuantificados, calculadas utilizando la teoría de perturbaciones dependientes del tiempo aplicada a la ecuación de Schrödinger.Imágenes por resonancia magnética (MRI): Comprender la manipulación del espín nuclear en un campo magnético requiere el formalismo de Schrödinger (específicamente a través de la formulación del espín de Pauli-Schrödinger).
9. El límite clásico y el teorema de Ehrenfest
Una nueva teoría física exitosa debe abarcar teorías más antiguas en el límite donde se sabe que funcionan. ¿Cómo se reduce la ecuación probabilística de Schrödinger a la mecánica newtoniana determinista para objetos macroscópicos?
Teorema de Ehrenfest proporciona el vínculo crucial. Afirma que los valores esperados (los promedios estadísticos) de los operadores cuánticos obedecen a ecuaciones de movimiento análogas a la mecánica clásica. Por ejemplo, la tasa de cambio del valor esperado del impulso es igual al valor esperado de la fuerza clásica:
\( \frac{d\langle \hat{p} \rangle}{dt} = \left\langle -\frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle \)
Para un paquete de ondas altamente localizado de un objeto macroscópico, la variación en la posición es insignificante y el centro del paquete de ondas sigue exactamente la trayectoria clásica newtoniana.
Además, el Aproximación WKB muestra que a medida que la constante de Planck \(\hbar\) se acerca a cero (en relación con la acción del sistema), la fase de la función de onda se comporta de acuerdo con las ecuaciones clásicas de Hamilton-Jacobi, lo que confirma el principio de correspondencia de Bohr.
10. Más allá de Schrödinger: dónde se desmorona
A pesar de su inmenso poder, la ecuación de Schrödinger es una aproximación. Es inherentemente no relativista. Cuando las partículas se acercan a la velocidad de la luz, el operador de energía cinética \( p^2/2m \) debe ser reemplazado por la relación relativista energía-momento \( E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 \).
Los primeros intentos de formular una ecuación de onda relativista dieron como resultado la Ecuación de Klein-Gordon , que funciona para partículas de spin-0 pero permite densidades de probabilidad negativas. En 1928, Paul Dirac linealizó la relación de energía para formular el Ecuación de Dirac , que incorporó de forma natural el espín del electrón y predijo con éxito la existencia de antimateria (positrones).
Sin embargo, incluso la ecuación de Dirac es insuficiente para sistemas donde cambia el número de partículas (por ejemplo, emisión de fotones, aniquilación partícula-antipartícula). Para modelar estos fenómenos, los físicos pasan de la mecánica cuántica a Teoría cuántica de campos (QFT) , donde la función de onda en sí se eleva a un operador que puede crear y destruir partículas. El QFT estándar forma la base del modelo estándar de física de partículas.
11. Conceptos erróneos comunes
"La Función de Onda representa una onda física en el espacio"
Aunque a menudo se visualiza como una onda, la función de onda para un sistema de \(N\)partículas existe en un espacio de configuración \(3N\)dimensional, no en nuestro espacio físico 3D estándar. Es un instrumento matemático para calcular probabilidades.
"La mecánica cuántica implica que la naturaleza es completamente aleatoria"
La evolución temporal de la función de onda dictada por la ecuación de Schrödinger es 100% determinista y reversible. La aleatoriedad y la probabilidad sólo entran en escena en el acto de medición (colapso de la función de onda), regido por la regla de Born.
"La ecuación de Schrödinger demuestra universos paralelos"
La ecuación en sí es agnóstica en cuanto a interpretación. La "Interpretación de muchos mundos" (MWI) toma la ecuación de manera completamente literal, proponiendo que el colapso de la función de onda nunca ocurre y que todos los estados de superposición posibles se realizan en universos ortogonales ramificados. Sin embargo, la interpretación de Copenhague, la mecánica de Bohm y las teorías del colapso objetivo coinciden en las matemáticas de la ecuación, al tiempo que proponen realidades ontológicas tremendamente diferentes.
12. Preguntas frecuentes
¿Podemos resolver la ecuación exactamente para todos los átomos?
No. La ecuación de Schrödinger solo se puede resolver exactamente (analíticamente) para sistemas con un solo electrón, como el hidrógeno, el He⁺ o el Li²⁺. Para sistemas multielectrónicos como el helio, los términos de repulsión electrón-electrón en el hamiltoniano impiden soluciones analíticas exactas. Debemos confiar en aproximaciones numéricas sofisticadas.
¿Por qué aparece la unidad imaginaria \(i\) en la ecuación?
A diferencia de las ecuaciones de ondas clásicas que implican la segunda derivada del tiempo, la TDSE es de primer orden en el tiempo. Para obtener soluciones oscilatorias y ondulatorias a partir de una derivada de primer orden, la constante de proporcionalidad debe ser imaginaria. Esta naturaleza compleja impone la unitaridad, asegurando que las probabilidades siempre sumen el 100%.
¿Quién descubrió la ecuación de Schrödinger?
Erwin Schrödinger publicó la ecuación en 1926. Sin embargo, los conceptos fundamentales se basaron en el trabajo anterior de Louis de Broglie, Max Planck y Albert Einstein.
13. Fuentes y lecturas adicionales
Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem." Annalen der Physik, 384(4), 361–376. de Broglie, L. (1924). Investigaciones sobre la teoría de los cuantos. Tesis doctoral, Sorbona. Griffiths, DJ y Schroeter, DF (2018). Introducción a la mecánica cuántica (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. Sakurai, J. J. y Napolitano, J. (2017). Mecánica cuántica moderna (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. Nacido, M. (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift für Physik, 37(12), 863–867. Dirac, PAM (1930). Los principios de la mecánica cuántica. Prensa de la Universidad de Oxford. Shankar, R. (2012). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Saltador. Cohen-Tannoudji, C., Diu, B. y Laloë, F. (1977). Mecánica Cuántica. Wiley-VCH.
Referencias generales adicionales: conferencias MIT OpenCourseWare 8.04 (Física Cuántica I) a cargo de Allan Adams; Base de datos de espectros atómicos del NIST.