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Einführung Zeitunabhängig Entartete Störung Zeitabhängig Fermis Goldene Regel Anwendungen Missverständnisse FAQ Quellen Einführung
Die meisten quantenmechanischen Probleme können nicht exakt gelöst werden. Die Störungstheorie liefert systematische Näherungen, wenn der Hamilton-Operator in einen löslichen Teil Ĥ₀ und eine kleine Störung Ĥ' aufgeteilt werden kann: Ĥ = Ĥ₀ + λĤ'. Die Erweiterung der Lösungen in Potenzen von λ führt zu Korrekturen von Energien, Wellenfunktionen und Übergangswahrscheinlichkeiten. Die Technik ist das Arbeitspferd für die Atomphysik, die Kernphysik, die kondensierte Materie und die Quantenfeldtheorie.
Zeitunabhängige Störungstheorie
Für einen stationären Hamiltonoperator Ĥ = Ĥ₀ + λĤ' mit bekannten Eigenzuständen |n⁰⟩ von Ĥ₀ mit Energien En ⁰:
Energie erster Ordnung
En ⁽¹⁾ = ⟨n⁰|Ĥ'|n⁰⟩
Wellenfunktion erster Ordnung
|n⁽¹⁾⟩ = Σm≠n [⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩ / (En ⁰ − Em ⁰)] |m⁰⟩
Energie zweiter Ordnung
En ⁽²⁾ = Σm≠n |⟨m⁰|Ĥ'|n⁰⟩|² / (En ⁰ − Em ⁰)
Die Reihe in λ konvergiert im Allgemeinen für ausreichend kleines λ. Für große λ sind alternative Methoden erforderlich [1 ].
Entartete Störungstheorie
Wenn |n⁰⟩ entartet ist (mehrere Zustände mit demselben En ⁰), haben die Formeln erster Ordnung verschwindende Nenner. Die Lösung: Diagonalisieren Sie die Störungsmatrix innerhalb des entarteten Unterraums. Die Energiekorrekturen erster Ordnung sind Eigenwerte dieser Matrix; Die entsprechenden Eigenvektoren sind die eigentlichen Zustände nullter Ordnung.
Beispiel: Stark-Effekt
Ein elektrisches Feld stört Wasserstoff. Für n = 2 (4-fach entartet) hebt die Störung die Entartung linear im Feld an – der lineare Stark-Effekt, der für Wasserstoff charakteristisch ist. Für nicht entartete Zustände ist der führende Effekt quadratisch.
Zeitabhängige Störungstheorie
Für eine zeitabhängige Störung Ĥ'(t), die Wahrscheinlichkeit, das System zum Zeitpunkt t im Zustand |m⟩ zu finden, vorausgesetzt, es begann in |n⟩:
Pn→m (t) = |(1/iℏ) ∫₀t ⟨m|Ĥ'(t')|n⟩ exp(iωmn t') dt'|²
wo ωmn = (Em − En )/ℏ. Bei einer harmonischen Störung sind Übergänge bei Resonanz am effizientesten (treibende Frequenz = Übergangsfrequenz).
Fermis Goldene Regel
Für Übergänge von einem diskreten Zustand in ein Zustandskontinuum mit der Dichte ρ(Ef ), die Übergangsrate pro Zeiteinheit:
Γi→f = (2π/ℏ) |⟨f|Ĥ'|i⟩|² ρ(Ef )
Von Fermi als „Goldene Regel von Fermi“ bezeichnet, der sie häufig verwendete. Es ist das Arbeitstier zur Berechnung von Zerfallsraten, Streuquerschnitten, Ionisationswahrscheinlichkeiten und allen Prozessen, die Übergänge zu einem Kontinuum beinhalten [2 ].
Anwendungen
Atomphysik: Stark, Zeeman-Effekte; Linienverbreiterung; spontane Emissionsraten.Kernphysik: Beta-Zerfallsraten; nukleare Übergänge.Kondensierte Materie: Elektron-Phonon-Streuung; elektrischer Widerstand durch Verunreinigungen.Teilchenphysik: Zerfallsraten, Streuamplituden (Feynman-Diagramme sind Störungserweiterungen).Chemie: Molekülspektren, Reaktionsgeschwindigkeiten. Häufige Missverständnisse
„Störungstheorie konvergiert immer“
Es ergeben sich häufig asymptotische Reihen, die schließlich divergieren. Für die QED ist die Störungsreihe asymptotisch, wobei der asymptotische Rest aus vielen praktischen Gründen begrenzt ist.
„Korrekturen höherer Ordnung verbessern immer die Genauigkeit“
Bei asymptotischen Reihen nur bis zu einer bestimmten Ordnung. Über die optimale Reihenfolge hinaus wachsen die Bedingungen.
„Störungstheorie ersetzt exakte Lösungen“
Nein – es gibt Näherungslösungen, wenn keine genauen Lösungen verfügbar sind. Wo es exakte Lösungen gibt, sind diese vorzuziehen.
„Fermis goldene Regel gilt für jeden Übergang“
Dies gilt, wenn die Endzustände ein Kontinuum bilden und die Störung schwach ist. Nicht für diskrete Übergänge oder starkes Fahren.
FAQ
Was ist der kleine Parameter?
Was auch immer die Störung im Vergleich zu Ĥ₀ klein macht. Beim Stark-Effekt skaliert die elektrische Feldstärke im Verhältnis zum atomaren Feld. Für QED ist die Feinstrukturkonstante α ≈ 1/137.
Wann versagt die Störungstheorie?
Starke Kopplungsregime (Gitter-QCD, BCS-Paarung usw.) erfordern nicht störende Methoden. Resonanzen und Beinahe-Entartungen erfordern eine entartete Störungstheorie.
Was ist der Link zu Feynman-Diagrammen?
Feynman-Diagramme sind eine bildliche Darstellung störungstheoretischer Begriffe. Jedes Diagramm entspricht einem Term in der Störungsentwicklung der S-Matrix.
Wie hängt die Störungstheorie mit numerischen Methoden zusammen?
Bei kleinen Störungen ist die analytische Expansion schneller als die numerische. Bei großen Störungen ist die direkte numerische Diagonalisierung oft einfacher und genauer.
Quellen
Sakurai, J. J., Napolitano, J. (2017). Moderne Quantenmechanik , 2. Aufl.
Fermi, E. (1950). Kernphysik . University of Chicago Press.
Griffiths, DJ (2018). Einführung in die Quantenmechanik , 3. Aufl.
Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1977). Quantenmechanik . Wiley.