Inhalt
Einleitung Die Methode Wendepunkte Quantisierung gebundener Zustände Tunnelbau Missverständnisse FAQ Quellen Einleitung
Die Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB)-Näherung, die 1926 von drei unabhängig voneinander arbeitenden Physikern entwickelt wurde, liefert eine semiklassische Lösung der Schrödinger-Gleichung für langsam variierende Potentiale. Es verbindet Quantenmechanik und klassische Mechanik und liefert analytische Näherungen zu Energien gebundener Zustände, Tunnelraten und Streuphasen. WKB ist eine der am häufigsten verwendeten Techniken in der Quantenmechanik.
Die Methode
Schreiben Sie die Wellenfunktion als ψ(x) = exp(iS(x)/ℏ) und entwickeln Sie S in Potenzen von ℏ:
S = S₀ + ℏS₁ + ℏ²S₂ + ...
Das Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung und das Einhalten der führenden Ordnungen ergibt:
ψ(x) ≈ (1/√p(x)) exp(±(i/ℏ)∫p(x')dx')
wobei p(x) = √(2m(E−V(x))) der klassische Impuls ist. Gültig, wenn das Potential im Vergleich zur lokalen de Broglie-Wellenlänge [1 ].
] langsam variiert Gültigkeit
Die WKB-Näherung ist gut, wenn |dλ/dx| ≪ 1, wobei λ = 2πℏ/p die lokale de Broglie-Wellenlänge ist. Es bricht in der Nähe klassischer Wendepunkte zusammen, wo p → 0.
Wendepunkte
An klassischen Wendepunkten (E = V) ist p = 0 und die WKB-Formel weist eine Singularität auf. Spezielle „Verbindungsformeln“ (Airy-Funktionen) behandeln den Übergang zwischen dem oszillierenden Bereich (E > V) und dem exponentiell abfallenden Bereich (E < V).
Der Standardzusammenhang: im klassisch erlaubten Bereich ψ ∼ cos(∫p dx/ℏ − π/4). Im verbotenen Bereich ist ψ ∼ exp(−∫|p| dx/ℏ). Die −π/4-Phasenverschiebung ergibt sich aus der Airy-Funktions-Asymptotik [2 ].
Quantisierung gebundener Zustände
Für einen gebundenen Zustand mit zwei Wendepunkten x₁ und x₂ lautet die WKB-Quantisierungsbedingung (Bohr-Sommerfeld):
∫x₁ x₂ p(x) dx = (n + 1/2)πℏ
wobei n = 0, 1, 2, ... die Quantenzahl ist. Dies verallgemeinert Bohrs alte Quantisierungsbedingung mit einer halben Korrektur des Maslov-Index (jeder Wendepunkt trägt zu einem Phasenverlust von π/2 bei).
Beispiele
Harmonischer Oszillator: WKB gibt genaues Ergebnis En = ℏω(n + 1/2).
Wasserstoff: WKB gibt die korrekte Rydberg-Formel an (mit einiger Sorgfalt auf den Drehimpuls-Zentrifugalterm).
Anharmonische Potentiale: WKB liefert überraschend genaue Energieniveaus für mittlere bis hohe Quantenzahlen.
Tunnelbau
Der WKB-Transmissionskoeffizient durch eine Barriere beträgt:
T ≈ exp[−(2/ℏ)∫x₁ x₂ √(2m(V(x)−E)) dx]
Dies ist die Standardformel für die Tunnelwahrscheinlichkeit. Verwendet in:
Alpha-Zerfall (Gamow 1928).
Fusion in Sternen (Gamow-Gipfel).
Rastertunnelmikroskopie.
Feldionisationsraten in starken elektrischen Feldern.
Vakuumzerfall in der Feldtheorie.
Weitere Informationen finden Sie im entsprechenden Artikel zum Quantentunneln.
Häufige Missverständnisse
„WKB ist exakt“
Es handelt sich um eine Näherung, die nur im ℏ → 0-Grenzwert exakt ist. Für einige spezielle Potentiale (harmonischer Oszillator) gibt die WKB genaue Antworten, in der Regel gibt es jedoch Korrekturen.
„WKB arbeitet immer für jedes Potenzial“
Es versagt in der Nähe von Wendepunkten (behandelt durch Airy-Funktionen) und bei stark variierenden Potentialen. Glatte Potenziale sind am besten.
„WKB ist nur eine Annäherung“
Es ist grundlegend. Die führende Näherung kann systematisch erweitert werden; Die Zusammenfassung liefert noch genauere Ergebnisse. WKB-Techniken lassen sich auf mehrdimensionale Probleme und die Feldtheorie verallgemeinern.
„WKB vermittelt klassische Mechanik“
Es verbindet Quantentheorie und Klassik und bietet führende Quantenkorrekturen für klassische Ergebnisse. Die ℏ → 0-Grenze stellt die klassische Mechanik wieder her; Höhere Ordnungen ergeben Quantenkorrekturen.
FAQ
Wer ist „W“, „K“, „B“?
Wentzel, Kramers, Brillouin – drei Physiker, die die Methode 1926 entwickelten. Manchmal auch „JWKB“ genannt, darunter Jeffreys, der früher ähnliche Methoden für Differentialgleichungen entwickelte.
Wie genau ist WKB für den harmonischen Oszillator?
Genau! WKB gibt En = ℏω(n + 1/2) – dasselbe wie die exakte Schrödinger-Lösung. Dies ist ein Zufall (oder spiegelt vielmehr die besondere Struktur des Oszillators wider).
Was ist der Maslov-Index?
Eine topologische Korrektur der Wendepunkte der WKB-Phasenzählung. Jeder weiche Wendepunkt trägt zur π/2-Phase bei. Die 1/2 in der Bohr-Sommerfeld-Formel kommt von zwei Wendepunkten, die insgesamt π beitragen.
Kann WKB mehrdimensionale Probleme bewältigen?
Ja – das mehrdimensionale WKB hat eine reichhaltige Struktur (Kaustiken, Brennpunkte). Die „Maslov-Arnold-Theorie“ verallgemeinert den 1D-Maslov-Index.
Quellen
Griffiths, DJ (2018). Einführung in die Quantenmechanik , 3. Aufl.
Bender, CM, Orszag, SA (1999). Fortgeschrittene mathematische Methoden für Wissenschaftler und Ingenieure . Springer.
Sakurai, J. J., Napolitano, J. (2017). Moderne Quantenmechanik , 2. Aufl.
Kramers, HA (1926). „Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung.“ Zeitschrift für Physik , 39(10-11), 828–840.