Velocità dell'onda
v = fλ - in che modo la frequenza, la lunghezza d'onda e il mezzo determinano la velocità con cui viaggia un'onda.
La formula della velocità delle onde
Ogni onda periodica ha tre quantità correlate: velocità v, frequenza f e lunghezza d'onda λ. Sono collegati da:
v = fλ
La lunghezza d'onda λ è la distanza tra punti identici successivi sull'onda (ad esempio, da cresta a cresta). La frequenza f è il numero di cicli completi al secondo (Hz). Il prodotto fornisce la distanza percorsa dall'onda al secondo.
Questa relazione è cinematica: si applica a tutti i tipi di onde indipendentemente dal meccanismo fisico. Ne consegue direttamente dalla definizione: nel tempo T = 1/f passa una lunghezza d'onda, quindi v = λ/T = λf.
L'equazione d'onda completa che governa il comportamento spaziale e temporale di un'onda è: ∂²y/∂t² = v² ∂²y/∂x², dove le soluzioni assumono la forma y = A cos(kx − ωt), con numero d'onda k = 2π/λ e frequenza angolare ω = 2πf. La velocità v = ω/k = fλ.
Tabella delle variabili
| Simbolo | Quantità | Unità SI |
|---|---|---|
| v | Velocità dell'onda | m/s |
| f | Frequenza | Hz (= s⁻¹) |
| λ | Lunghezza d'onda | m |
| T | Periodo (= 1/f) | s |
| k | Numero d'onda (= 2π/λ) | rad/m |
| ω | Frequenza angolare (= 2πf) | rad/s |
Velocità in diversi media
Suono nell'aria
A 0°C: v_suono ≈ 331 m/s. A 20°C: v_suono ≈ 343 m/s. La dipendenza dalla temperatura: v ≈ 331√(T/273) m/s, dove T è in Kelvin. In acqua: ~1.480 m/s. In acciaio: ~5.960 m/s.
Onde trasversali su una corda
v = √(T/μ), dove T è la tensione (N) e μ è la densità di massa lineare (kg/m). Una corda più tesa e leggera trasporta le onde più velocemente.
Onde elettromagnetiche
Nel vuoto: c = 299.792.458 m/s ≈ 3 × 10⁸ m/s (esatto per definizione). In un mezzo con indice di rifrazione n: v = c/n. Per la luce visibile nel vetro (n ≈ 1,5): v ≈ 2 × 10⁸ m/s.
Esempi realizzati
Esempio 1 — Trovare la lunghezza d'onda
Un'onda sonora nell'aria (20°C) ha frequenza 440 Hz. Trova la sua lunghezza d'onda.
λ = v/f = 343/440 ≈ 0,780 mt (78 cm — concerto LA nota).
Esempio 2 — Velocità dell'onda su una corda
Una corda di chitarra ha tensione 80 N e densità lineare 5 × 10⁻³ kg/m. Trova la velocità dell'onda.
v = √(T/μ) = √(80 / 5×10⁻³) = √16.000 ≈ 126 m/s.
Esempio 3 — Frequenza da velocità e lunghezza d'onda
Un'onda d'acqua ha lunghezza d'onda 2 m e viaggia a 3 m/s. Trova la sua frequenza e il periodo.
f = v/λ = 3/2 = 1,5 Hz. T = 1/f = 1/1,5 ≈ 0,67 s.
Dispersione
Un'onda è non dispersivo se tutte le frequenze viaggiano alla stessa velocità (ad esempio, il suono nell'aria, la luce nel vuoto). È dispersivo se la velocità dipende dalla frequenza. Nei mezzi dispersivi, un pacchetto d'onde (sovrapposizione di frequenze diverse) si diffonde nel tempo.
Il velocità di fase v_p = ω/k descrive i singoli sinusoidi. Il velocità di gruppo v_g = dω/dk descrive la velocità dell'energia e dell'informazione. Per mezzi non dispersivi, v_p = v_g. Nei mezzi dispersivi differiscono: un prisma di vetro separa la luce bianca in colori perché diverse lunghezze d'onda viaggiano a velocità diverse.
Errori comuni
- Confondere periodo e lunghezza d'onda. Il periodo T è un tempo (secondi); la lunghezza d'onda λ è una lunghezza (metri). f = 1/T ma λ ≠ 1/f — λ = v/f.
- Supponendo che la frequenza cambi quando un'onda entra in un nuovo mezzo. La frequenza è impostata dalla sorgente e non cambia al confine. Cambiamento di velocità e lunghezza d'onda; la frequenza no.
- Mescolare la velocità di fase e quella di gruppo. La velocità di fase può superare c nei mezzi dispersivi: ciò non viola la relatività speciale perché le informazioni viaggiano alla velocità di gruppo.
Velocità del suono: dipendenza dalla temperatura
Per un gas ideale, la velocità del suono è v = √(γP/ρ) = √(γRT/M), dove γ è l'indice adiabatico, R è la costante dei gas, T è la temperatura assoluta e M è la massa molare. Per aria secca alla temperatura T (kelvin): v ≈ 331√(T/273) m/s, o equivalentemente v ≈ 331 + 0,6θ m/s dove θ è la temperatura in °C. A 20°C: v ≈ 343 m/s; a 100°C: v ≈ 387 m/s.
L'umidità aumenta anche leggermente la velocità del suono nell'aria perché il vapore acqueo (M = 18 g/mol) è più leggero dell'aria secca (M ≈ 29 g/mol), riducendo la massa molare effettiva.
Velocità delle onde e indice di rifrazione
Quando la luce attraversa un confine tra mezzi con diversi indici di rifrazione n₁ e n₂, la velocità cambia da c/n₁ a c/n₂ ma la frequenza rimane costante. La legge di Snell n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ deriva dal requisito che i fronti d'onda corrispondano al confine. La riflessione interna totale si verifica quando n₁ sin θ₁ = n₂ richiede sin θ₂ > 1 — che non ha una soluzione reale, quindi non esiste alcuna onda trasmessa. Le fibre ottiche sfruttano la riflessione interna totale, intrappolando la luce all'interno di un nucleo ad alto indice per trasmettere segnali con una perdita minima per migliaia di chilometri.
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Domande frequenti
Formula della velocità delle onde?
v = fλ. La velocità dell'onda è uguale alla frequenza per la lunghezza d'onda. Questo vale per il suono, la luce, l'acqua e tutti gli altri tipi di onde.
Cosa determina la velocità delle onde?
Il mezzo, non la fonte. Suono nell'aria: ~343 m/s. Luce nel vuoto: 3×10⁸ m/s. Questi non cambiano con la frequenza o l'ampiezza.
La frequenza cambia quando un'onda entra in un nuovo mezzo?
No. La frequenza è impostata dalla sorgente. Sia la velocità che la lunghezza d'onda cambiano in corrispondenza di un confine; la frequenza rimane la stessa.
Cos'è la dispersione?
La velocità varia con la frequenza nel mezzo. La luce bianca si disperde nel vetro perché diverse lunghezze d'onda viaggiano a velocità diverse, producendo uno spettro.
Riferimenti
- Francese, AP (1971). Vibrazioni e Onde. Serie introduttiva di fisica del MIT. Capitolo 5.
- Griffiths, DJ (2017). Introduzione all'elettrodinamica (4a ed.). Cambridge. Capitolo 9.
- Kinsler, L.E., Frey, A.R., Coppens, A.B., & Sanders, J.V. (2000). Fondamenti di Acustica (4a ed.). Wiley.