Moto armonico semplice

Definizione e condizioni

Una particella subisce moto armonico semplice (SHM) quando sperimenta una forza di ripristino proporzionale al suo spostamento dall'equilibrio e diretta indietro verso di esso:

F = −kx

dove k è una costante positiva (la costante della molla, in N/m) e x è lo spostamento. Il segno negativo garantisce che la forza si opponga sempre allo spostamento, creando oscillazione. SHM è isocrono: il periodo è indipendente dall'ampiezza (per piccoli spostamenti).

Equazioni del moto

La seconda legge di Newton F = ma con F = −kx dà l'equazione differenziale: mẍ + kx = 0, o equivalentemente ẍ + ω²x = 0, dove ω = √(k/m) è la frequenza angolare (rad/s).

La soluzione generale è:

• x(t) = A cos(ωt + φ) — spostamento
• v(t) = −Aω sin(ωt + φ) — velocità
• a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) — accelerazione

dove A è l'ampiezza e φ è la fase iniziale. Il periodo T = 2π/ω e la frequenza f = 1/T = ω/2π.

Tabella delle variabili

Energia in SHM

L'energia meccanica totale in SHM si conserva: E = ½kA² = costante. Ad ogni spostamento x:

• Energia potenziale: PE = ½kx²
• Energia cinetica: KE = ½k(A² − x²) = ½mv²
• Totale: E = KE + PE = ½kA²

La velocità massima si verifica a x = 0: v_max = Aω. L'accelerazione massima si verifica in x = ±A: a_max = Aω².

Sistemi SHM comuni

Sistema massa-molla

Per una massa m su una molla di costante k: ω = √(k/m) e T = 2π√(m/k). Questo vale sia per le configurazioni orizzontali che verticali (la gravità sposta solo la posizione di equilibrio, non cambia il periodo).

Pendolo semplice

Per angoli piccoli (θ ≪ 1 radiante), la forza di ripristino è mg sin θ ≈ mgθ, ottenendo SHM con ω = √(g/L) e T = 2π√(L/g). Il periodo è indipendente dalla massa e dall'ampiezza. Per angoli più ampi, il periodo aumenta: un'oscillazione di 15° è circa lo 0,5% più lunga di quanto previsto da SHM.

Pendolo fisico

Un oggetto esteso che ruota attorno ad un asse fisso: T = 2π√(I/mgd), dove I è il momento di inerzia attorno al perno e d è la distanza dal perno al centro di massa.

Esempi realizzati

Esempio 1 — Periodo massa-primavera

Una massa di 0,4 kg è attaccata a una molla con k = 100 N/m. Trova il periodo e la velocità massima quando l'ampiezza A = 0,05 m.

Soluzione: ω = √(100/0,4) = √250 ≈ 15,81 rad/s. T = 2π/ω = 2π/15,81 ≈ 0,397 s. v_max = Aω = 0,05 × 15,81 ≈ 0,79 m/s.

Esempio 2 — Lunghezza del pendolo dal periodo

Un pendolo sulla Terra ha un periodo di 2,0 s. Trova la sua lunghezza.

Soluzione: T = 2π√(L/g) → L = g(T/2π)² = 9,81 × (2/2π)² = 9,81 × (1/π)² ≈ 0,993 mt (il "pendolo dei secondi").

Esempio 3 — Energia in SHM

Una massa di 0,2 kg su una molla (k = 50 N/m) oscilla con ampiezza 0,1 m. Trova la velocità a x = 0,06 m.

Soluzione: E = ½kA² = ½(50)(0,01) = 0,25 J. PE a x = 0,06: ½(50)(0,0036) = 0,09 J. KE = 0,25 − 0,09 = 0,16 J. v = √(2KE/m) = √(0,32/0,2) = √1,6 ≈ 1,26 m/s.

Errori comuni

• Utilizzo della formula dell'angolo piccolo al di fuori del suo intervallo. T = 2π√(L/g) vale per θ ≲ 15°. Per ampiezze maggiori, utilizzare la formula integrale ellittica completa.
• Periodo e frequenza confusi. f = 1/T e ω = 2πf. Questi non sono intercambiabili.
• Ignorando il fattore ½ nelle espressioni energetiche. E = ½kA² ≠ kA².
• Dimenticando che una molla verticale dà comunque T = 2π√(m/k). La gravità sposta l’equilibrio ma non cambia il periodo perché la forza di ripristino netta obbedisce ancora a F = −kx misurata dal nuovo equilibrio.

Applicazioni

• Cronometraggio: Gli orologi a pendolo, gli oscillatori al quarzo e gli orologi atomici si basano tutti su oscillazioni periodiche altamente stabili.
• Sismologia: I sismografi utilizzano sistemi di masse sospese sensibili alle vibrazioni terrestri.
• Strumenti musicali: Stringhe, colonne d'aria e membrane vibrano in SHM per produrre il suono.
• Ingegneria: Isolamento delle vibrazioni, progettazione delle sospensioni ed eliminazione della risonanza in ponti ed edifici.
• Fisica atomica: Le vibrazioni molecolari modellate come oscillatori armonici accoppiati determinano gli spettri infrarossi.

Oscillazioni smorzate e forzate

Gli oscillatori reali perdono energia nel tempo: questo si chiama oscillazione smorzata. La forza di smorzamento è tipicamente proporzionale alla velocità: F_damp = −bv, dando l'equazione mẍ + bẋ + kx = 0. A seconda della costante di smorzamento b relativa al valore critico b_c = 2√(km):

• Sottosmorzato (b < b_c): le oscillazioni decadono esponenzialmente — x(t) = Ae^(−γt) cos(ω′t + φ), dove γ = b/2m
• Smorzato in modo critico (b = b_c): ritorna all'equilibrio più velocemente senza oscillare
• Sovrasmorzato (b > b_c): lento ritorno esponenziale all'equilibrio

Oscillazioni forzate si verificano quando una forza esterna periodica guida il sistema. Quando la frequenza di guida corrisponde alla frequenza naturale ω₀ = √(k/m), risonanza si verifica e l'ampiezza cresce notevolmente. Gli ingegneri devono evitare la risonanza nei ponti, negli edifici e nelle strutture degli aerei: il crollo del Tacoma Narrows Bridge (1940) è il classico esempio cautelativo.

Argomenti correlati

Domande frequenti

Riferimenti

1. Halliday, D., Resnick, R. e Krane, K. S. (2001). Fisica (5a ed.). Wiley. Capitolo 15.
2. Francese, AP (1971). Vibrazioni e Onde. Serie introduttiva di fisica del MIT. Capitolo 1–3.
3. Crawford, FS (1968). Onde. Corso di fisica di Berkeley vol. 3. McGraw-Hill. Capitolo 1.
4. Kiran T. Bhansali. (2019). "Il pendolo semplice." Giornale americano di fisica, 87(2), 144–146.