Vitesse des vagues
v = fλ — comment la fréquence, la longueur d'onde et le milieu déterminent la vitesse de déplacement d'une onde.
La formule de vitesse des vagues
Chaque onde périodique a trois quantités liées : la vitesse v, la fréquence f et la longueur d'onde λ. Ils sont liés par :
v = fλ
La longueur d'onde λ est la distance entre des points identiques successifs sur l'onde (par exemple, crête à crête). La fréquence f est le nombre de cycles complets par seconde (Hz). Le produit donne la distance parcourue par l’onde par seconde.
Cette relation est cinématique : elle s'applique à tous les types d'ondes, quel que soit le mécanisme physique. Cela découle directement de la définition : au temps T = 1/f, une longueur d'onde passe, donc v = λ/T = λf.
L'équation pleine onde régissant le comportement spatial et temporel d'une onde est : ∂²y/∂t² = v² ∂²y/∂x², où les solutions prennent la forme y = A cos(kx − ωt), avec le numéro d'onde k = 2π/λ et la fréquence angulaire ω = 2πf. La vitesse v = ω/k = fλ.
Tableau des variables
| Symbole | Quantité | Unité SI |
|---|---|---|
| v | Vitesse des vagues | m/s |
| f | Fréquence | Hz (= s⁻¹) |
| λ | Longueur d'onde | m |
| T | Période (= 1/f) | s |
| k | Numéro d'onde (= 2π/λ) | rad/m |
| ω | Fréquence angulaire (= 2πf) | rad/s |
Vitesse dans différents médias
Son dans l'air
À 0°C : v_sound ≈ 331 m/s. A 20°C : v_sound ≈ 343 m/s. La dépendance à la température : v ≈ 331√(T/273) m/s, où T est en kelvin. Dans l'eau : ~1 480 m/s. En acier : ~5 960 m/s.
Ondes transversales sur une corde
v = √(T/μ), où T est la tension (N) et μ est la masse volumique linéaire (kg/m). Une corde plus serrée et plus légère transporte les vagues plus rapidement.
Ondes électromagnétiques
Sous vide : c = 299 792 458 m/s ≈ 3 × 10⁸ m/s (exact par définition). Dans un milieu d'indice de réfraction n : v = c/n. Pour la lumière visible dans le verre (n ≈ 1,5) : v ≈ 2 × 10⁸ m/s.
Exemples travaillés
Exemple 1 — Recherche de longueur d'onde
Une onde sonore dans l'air (20°C) a une fréquence de 440 Hz. Trouvez sa longueur d'onde.
λ = v/f = 343/440 ≈ 0,780 m (78 cm — concert A note).
Exemple 2 — Vitesse d'onde sur une corde
Une corde de guitare a une tension de 80 N et une densité linéaire de 5 × 10⁻³ kg/m. Trouvez la vitesse des vagues.
v = √(T/μ) = √(80 / 5×10⁻³) = √16 000 ≈ 126 m/s.
Exemple 3 — Fréquence à partir de la vitesse et de la longueur d'onde
Une vague d'eau a une longueur d'onde de 2 m et se déplace à une vitesse de 3 m/s. Trouvez sa fréquence et sa période.
f = v/λ = 3/2 = 1,5 Hz. T = 1/f = 1/1,5 ≈ 0,67 s.
Dispersion
Une vague est non dispersif si toutes les fréquences se déplacent à la même vitesse (par exemple, le son dans l'air, la lumière dans le vide). C'est dispersif si la vitesse dépend de la fréquence. Dans les milieux dispersifs, un paquet d'ondes (superposition de différentes fréquences) s'étale dans le temps.
Le vitesse de phase v_p = ω/k décrit des sinusoïdes individuelles. Le vitesse de groupe v_g = dω/dk décrit la vitesse de l'énergie et de l'information. Pour les supports non dispersifs, v_p = v_g. Dans les milieux dispersifs, ils diffèrent : un prisme de verre sépare la lumière blanche en couleurs car différentes longueurs d'onde se déplacent à des vitesses différentes.
Erreurs courantes
- Période et longueur d’onde confuses. La période T est une durée (secondes) ; la longueur d'onde λ est une longueur (mètres). f = 1/T mais λ ≠ 1/f — λ = v/f.
- En supposant que la fréquence change lorsqu'une onde entre dans un nouveau support. La fréquence est définie par la source et ne change pas à la limite. Changement de vitesse et de longueur d'onde ; la fréquence ne le fait pas.
- Mélanger phase et vitesse de groupe. La vitesse de phase peut dépasser c dans les milieux dispersifs — cela ne viole pas la relativité restreinte car l'information se déplace à la vitesse de groupe.
Vitesse du son : dépendance à la température
Pour un gaz parfait, la vitesse du son est v = √(γP/ρ) = √(γRT/M), où γ est l'indice adiabatique, R est la constante du gaz, T est la température absolue et M est la masse molaire. Pour l'air sec à température T (kelvin) : v ≈ 331√(T/273) m/s, ou de manière équivalente v ≈ 331 + 0,6θ m/s où θ est la température en °C. À 20°C : v ≈ 343 m/s ; à 100°C : v ≈ 387 m/s.
L'humidité augmente également légèrement la vitesse du son dans l'air car la vapeur d'eau (M = 18 g/mol) est plus légère que l'air sec (M ≈ 29 g/mol), réduisant ainsi la masse molaire effective.
Vitesse des vagues et indice de réfraction
Lorsque la lumière traverse une frontière entre des milieux ayant des indices de réfraction n₁ et n₂ différents, la vitesse passe de c/n₁ à c/n₂ mais la fréquence reste constante. La loi de Snell n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ découle de l'exigence que les fronts d'onde correspondent à la frontière. La réflexion interne totale se produit lorsque n₁ sin θ₁ = n₂ nécessite sin θ₂ > 1 — qui n'a pas de vraie solution, donc aucune onde transmise n'existe. Les fibres optiques exploitent la réflexion interne totale, piégeant la lumière à l'intérieur d'un noyau à indice élevé pour transmettre des signaux avec une perte minimale sur des milliers de kilomètres.
Sujets connexes
Foire aux questions
Formule de vitesse des vagues ?
v = fλ. La vitesse des vagues est égale à la fréquence multipliée par la longueur d’onde. Cela s’applique au son, à la lumière, à l’eau et à tous les autres types d’ondes.
Qu’est-ce qui détermine la vitesse des vagues ?
Le support, pas la source. Bruit dans l'air : ~343 m/s. Lumière dans le vide : 3×10⁸ m/s. Ceux-ci ne changent pas avec la fréquence ou l'amplitude.
La fréquence change-t-elle lorsqu'une onde pénètre dans un nouveau milieu ?
Non. La fréquence est définie par la source. La vitesse et la longueur d'onde changent toutes deux à une limite ; la fréquence reste la même.
Qu’est-ce que la dispersion ?
La vitesse varie avec la fréquence dans le milieu. La lumière blanche se disperse dans le verre car différentes longueurs d'onde se déplacent à des vitesses différentes, produisant un spectre.
Références
- Français, A.P. (1971). Vibrations et ondes. Série d'introduction à la physique du MIT. Chapitre 5.
- Griffiths, DJ (2017). Introduction à l'électrodynamique (4e éd.). Cambridge. Chapitre 9.
- Kinsler, LE, Frey, AR, Coppens, AB et Sanders, JV (2000). Fondamentaux de l'acoustique (4e éd.). Wiley.