Mouvement Harmonique Simple

Définition et conditions

Une particule subit mouvement harmonique simple (SHM) lorsqu'il subit une force de rappel proportionnelle à son déplacement de l'équilibre et renvoyée vers lui :

F = −kx

où k est une constante positive (la constante du ressort, en N/m) et x est le déplacement. Le signe négatif garantit que la force s’oppose toujours au déplacement, créant ainsi une oscillation. SHM est isochrone — la période est indépendante de l'amplitude (pour les petits déplacements).

Équations de mouvement

La deuxième loi de Newton F = ma avec F = −kx donne l'équation différentielle : mẍ + kx = 0, ou de manière équivalente ẍ + ω²x = 0, où ω = √(k/m) est la fréquence angulaire (rad/s).

La solution générale est :

• x(t) = UNE cos(ωt + φ) — déplacement
• v(t) = −Aω sin(ωt + φ) — vitesse
• une(t) = −Aω² cos(ωt + φ) — accélération

où A est l'amplitude et φ est la phase initiale. La période T = 2π/ω et la fréquence f = 1/T = ω/2π.

Tableau des variables

Énergie en SHM

L'énergie mécanique totale dans SHM est conservée : E = ½kA² = constante. À tout déplacement x :

• Énergie potentielle : PE = ½kx²
• Énergie cinétique : KE = ½k(A² − x²) = ½mv²
• Total : E = KE + PE = ½kA²

La vitesse maximale se produit à x = 0 : v_max = Aω. L'accélération maximale se produit à x = ±A : a_max = Aω².

Systèmes SHM communs

Système masse-ressort

Pour une masse m sur un ressort de constante k : ω = √(k/m) et T = 2π√(m/k). Cela s'applique aussi bien aux configurations horizontales que verticales (la gravité ne fait que déplacer la position d'équilibre, elle ne change pas la période).

Pendule simple

Pour les petits angles (θ ≪ 1 radian), la force de rappel est mg sin θ ≈ mgθ, ce qui donne SHM avec ω = √(g/L) et T = 2π√(L/g). La période est indépendante de la masse et de l'amplitude. Pour des angles plus grands, la période augmente : une oscillation de 15° est environ 0,5 % plus longue que celle prévue par SHM.

Pendule physique

Un objet étendu pivotant autour d'un axe fixe : T = 2π√(I/mgd), où I est le moment d'inertie autour du pivot et d est la distance du pivot au centre de masse.

Exemples travaillés

Exemple 1 — Période masse-ressort

Une masse de 0,4 kg est attachée à un ressort avec k = 100 N/m. Trouvez la période et la vitesse maximale lorsque l'amplitude A = 0,05 m.

Solution : ω = √(100/0,4) = √250 ≈ 15,81 rad/s. T = 2π/ω = 2π/15,81 ≈ 0,397 s. v_max = Aω = 0,05 × 15,81 ≈ 0,79 m/s.

Exemple 2 — Longueur du pendule à partir de la période

Un pendule sur Terre a une période de 2,0 s. Trouvez sa longueur.

Solution : T = 2π√(L/g) → L = g(T/2π)² = 9,81 × (2/2π)² = 9,81 × (1/π)² ≈ 0,993 m (le "pendule des secondes").

Exemple 3 — Énergie en SHM

Une masse de 0,2 kg sur un ressort (k = 50 N/m) oscille avec une amplitude de 0,1 m. Trouvez la vitesse à x = 0,06 m.

Solution : E = ½kA² = ½(50)(0,01) = 0,25 J. PE à x = 0,06 : ½(50)(0,0036) = 0,09 J. KE = 0,25 − 0,09 = 0,16 J. v = √(2KE/m) = √(0,32/0,2) = √1,6 ≈ 1,26 m/s.

Erreurs courantes

• Utiliser la formule des petits angles en dehors de sa plage. T = 2π√(L/g) s'applique pour θ ≲ 15°. Pour des amplitudes plus grandes, utilisez la formule elliptique-intégrale complète.
• Période et fréquence confuses. f = 1/T et ω = 2πf. Ceux-ci ne sont pas interchangeables.
• Ignorer le facteur ½ dans les expressions énergétiques. E = ½kA² ≠ kA².
• En oubliant qu'un ressort vertical donne toujours T = 2π√(m/k). La gravité déplace l'équilibre mais ne change pas la période car la force de rappel nette obéit toujours à F = −kx mesuré à partir du nouvel équilibre.

Applications

• Chronométrage : Les horloges à pendule, les oscillateurs à quartz et les horloges atomiques reposent tous sur des oscillations périodiques très stables.
• Sismologie : Les sismographes utilisent des systèmes de masses suspendues sensibles aux vibrations terrestres.
• Instruments de musique : Les cordes, les colonnes d'air et les membranes vibrent dans SHM pour produire du son.
• Ingénierie : Isolation des vibrations, conception des suspensions et évitement des résonances dans les ponts et les bâtiments.
• Physique atomique : Les vibrations moléculaires modélisées sous forme d'oscillateurs harmoniques couplés déterminent les spectres infrarouges.

Oscillations amorties et forcées

Les vrais oscillateurs perdent de l'énergie avec le temps — c'est ce qu'on appelle oscillation amortie. La force d'amortissement est généralement proportionnelle à la vitesse : F_damp = −bv, donnant l'équation mẍ + bẋ + kx = 0. En fonction de la constante d'amortissement b par rapport à la valeur critique b_c = 2√(km) :

• Sous-amorti (b < b_c) : les oscillations décroissent de façon exponentielle — x(t) = Ae^(−γt) cos(ω′t + φ), où γ = b/2m
• Amortissement critique (b = b_c) : revient à l'équilibre le plus rapidement sans osciller
• Suramorti (b > b_c) : lent retour exponentiel à l’équilibre

Oscillations forcées se produisent lorsqu’une force externe périodique entraîne le système. Lorsque la fréquence de conduite correspond à la fréquence naturelle ω₀ = √(k/m), résonance se produit et l’amplitude augmente considérablement. Les ingénieurs doivent éviter les résonances dans les ponts, les bâtiments et les structures d’avions – l’effondrement du pont de Tacoma Narrows (1940) en est l’exemple classique.

Sujets connexes

Foire aux questions

Références

1. Halliday, D., Resnick, R. et Krane, KS (2001). Physique (5e éd.). Wiley. Chapitre 15.
2. Français, A.P. (1971). Vibrations et ondes. Série d'introduction à la physique du MIT. Chapitre 1–3.
3. Crawford, FS (1968). Vagues. Cours de physique de Berkeley Vol. 3. McGraw-Hill. Chapitre 1.
4. Kiran T.Bhansali. (2019). «Le pendule simple». Journal américain de physique, 87(2), 144–146.