Élan

Définition et formule

L'impulsion linéaire p d'un objet est défini comme le produit de sa masse m et vitesse v:

p = mv

L'élan est un vecteur quantité - elle a à la fois une ampleur et une direction, pointant dans la même direction que la vitesse. L'unité SI de quantité de mouvement est kilogrammes-mètres par seconde (kg·m/s), équivalent à newton-secondes (N·s).

La deuxième loi de Newton, dans sa forme la plus générale, s'écrit F = dp/dt — la force est égale au taux de changement de quantité de mouvement. Pour une masse constante, cela se réduit à F = ma.

Tableau des variables

Conservation de l'élan

La loi de conservation de la quantité de mouvement s'énonce : si aucune force externe nette n’agit sur un système, la quantité de mouvement totale du système reste constante.

Pour un système à deux objets : m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′, où les nombres premiers désignent les vitesses post-interaction.

La conservation de la quantité de mouvement est une conséquence directe de la troisième loi de Newton. Dans toute interaction, les forces entre les objets sont égales et opposées, donc leurs changements de quantité de mouvement sont égaux et opposés – et le total reste inchangé. Le théorème de Noether identifie la conservation de la quantité de mouvement comme la conséquence de la symétrie de translation spatiale : les lois de la physique sont les mêmes partout dans l'espace.

Théorème d'impulsion-impulsion

Impulsion J = FΔt est l'intégrale de la force dans le temps. Le théorème impulsion-impulsion déclare : J = Δp = m(v′ − v). Les changements d'impulsion et de quantité de mouvement ont les mêmes unités (N·s = kg·m/s).

Ce théorème explique pourquoi les dispositifs de sécurité prolongent la durée de la collision. Un airbag de voiture augmente le temps Δt pendant lequel l'élan de l'occupant tombe à zéro, réduisant ainsi la force moyenne F = Δp/Δt exercée sur le corps. Le même principe sous-tend les équipements sportifs rembourrés, les zones de déformation et la technique de chute dans les arts martiaux.

Types de collisions

Collisions élastiques conserver à la fois l’élan et l’énergie cinétique. Ils sont rares dans les systèmes macroscopiques (boules de billard environ, collisions moléculaires dans les gaz parfaits exactement). Les équations donnent :

• v₁′ = [(m₁ − m₂)v₁ + 2m₂v₂] / (m₁ + m₂)
• v₂′ = [(m₂ − m₁)v₂ + 2m₁v₁] / (m₁ + m₂)

Collisions inélastiques conserver l'élan mais pas l'énergie cinétique. Le déficit d'énergie cinétique se transforme en déformation, en chaleur ou en son. Un collision parfaitement inélastique maximise la perte d'énergie : les deux objets collent ensemble et se déplacent à v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂).

Exemples travaillés

Exemple 1 — Trouver un élan

Une balle de cricket de 0,15 kg se déplace à 40 m/s. Trouvez son élan.

Solution : p = mv = 0,15 × 40 = 6 kg·m/s dans le sens du déplacement.

Exemple 2 — Conservation en cas de collision

Un chariot de 2 kg se déplaçant à 3 m/s entre en collision avec un chariot de 1 kg à l'arrêt. Après l'impact, ils restent ensemble. Trouvez la vitesse finale.

Solution : Conservation de la quantité de mouvement : (2)(3) + (1)(0) = (2 + 1)v′. Donc 6 = 3v′ → v′ = 2 m/s dans la direction originale.

Contrôle de l'énergie cinétique : KE_before = ½(2)(3²) = 9 J ; KE_after = ½(3)(2²) = 6 J. Énergie perdue = 3 J (à cause de la déformation) — il s'agit d'une collision parfaitement inélastique.

Exemple 3 — Impulsion et force

L'élan d'une personne de 60 kg passe de 0 à 300 kg·m/s en 0,5 s lors d'un départ de sprint. Trouvez la force nette moyenne.

Solution : J = Δp = 300 N·s. F = J/Δt = 300/0,5 = 600 N.

Erreurs courantes

• Oublier l’élan est un vecteur. Dans les problèmes 2D, traitez les composants x et y séparément. Une balle rebondissant sur un mur sous un angle change de direction – le changement d’élan n’est pas nul même si la vitesse reste inchangée.
• Appliquer la conservation lorsque des forces externes agissent. La gravité, la friction et les forces normales peuvent toutes être externes. La conservation ne s'applique que sur des intervalles de temps suffisamment courts pour que l'impulsion externe soit négligeable, ou dans des directions où aucune force externe n'agit.
• Confondre élan et énergie cinétique. p = mv; KE = ½mv². Une vitesse doublée double l’élan mais quadruple l’énergie cinétique. Ils se transforment différemment et se conservent dans des conditions différentes.
• Signez les erreurs. Définissez toujours une direction positive avant de résoudre. Les vitesses dans la direction opposée sont négatives.

Applications

• Propulsion de fusée : La masse d'échappement éjectée vers l'arrière donne à la fusée un élan vers l'avant (conservation).
• Physique des particules : L'impulsion manquante dans les produits de collision signale une particule non détectée (par exemple, le neutrino a été déduit de cette façon).
• Biomécanique du sport : La technique de frappe, le suivi et la conception de l'équipement de protection utilisent tous l'analyse de l'impulsion et de l'impulsion.
• Sécurité en cas d'accident de véhicule : Les zones de déformation, les airbags et les ceintures de sécurité prolongent le temps de collision pour réduire la force maximale.
• Dynamique stellaire : La conservation de l'élan régit les orbites des étoiles binaires, les collisions de galaxies et les frondes gravitationnelles.

Sujets connexes

Foire aux questions

Références

1. Halliday, D., Resnick, R. et Krane, KS (2001). Physique (5e éd.). Wiley. Chapitre 9.
2. Serway, RA et Jewett, JW (2018). Physique pour les scientifiques et les ingénieurs (10e éd.). Cengage. Chapitre 9.
3. Kleppner, D. et Kolenkow, RJ (2014). Une introduction à la mécanique (2e éd.). La Presse de l'Universite de Cambridge. Chapitre 4.
4. Taylor, JR (2005). Mécanique classique. Livres scientifiques universitaires. Chapitre 3.