Velocidad de onda
v = fλ: cómo la frecuencia, la longitud de onda y el medio determinan la velocidad a la que viaja una onda.
La fórmula de la velocidad de la onda
Cada onda periódica tiene tres cantidades relacionadas: velocidad v, frecuencia f y longitud de onda λ. Están unidos por:
v = fλ
La longitud de onda λ es la distancia entre puntos idénticos sucesivos de la onda (por ejemplo, de cresta a cresta). La frecuencia f es el número de ciclos completos por segundo (Hz). El producto da la distancia que avanza la onda por segundo.
Esta relación es cinemática: se aplica a todos los tipos de ondas independientemente del mecanismo físico. Se deduce directamente de la definición: en el tiempo T = 1/f, pasa una longitud de onda, por lo que v = λ/T = λf.
La ecuación de onda completa que gobierna el comportamiento espacial y temporal de una onda es: ∂²y/∂t² = v² ∂²y/∂x², donde las soluciones toman la forma y = A cos(kx − ωt), con número de onda k = 2π/λ y frecuencia angular ω = 2πf. La velocidad v = ω/k = fλ.
Tabla de variables
| Símbolo | Cantidad | Unidad SI |
|---|---|---|
| v | Velocidad de la onda | m/s |
| f | Frecuencia | Hz (= s⁻¹) |
| λ | Longitud de onda | m |
| T | Período (= 1/f) | s |
| k | Número de onda (= 2π/λ) | rad/m |
| ω | Frecuencia angular (= 2πf) | rad/s |
Velocidad en diferentes medios
Sonido en el aire
A 0°C: v_sound ≈ 331 m/s. A 20°C: v_sound ≈ 343 m/s. La dependencia de la temperatura: v ≈ 331√(T/273) m/s, donde T está en kelvin. En agua: ~1.480 m/s. En acero: ~5.960 m/s.
Ondas transversales en una cuerda
v = √(T/μ), donde T es la tensión (N) y μ es la densidad de masa lineal (kg/m). Una cuerda más tensa y ligera transporta las ondas más rápido.
Ondas electromagnéticas
En el vacío: c = 299.792.458 m/s ≈ 3 × 10⁸ m/s (exacto por definición). En un medio con índice de refracción n: v = c/n. Para luz visible en vidrio (n ≈ 1,5): v ≈ 2 × 10⁸ m/s.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: encontrar la longitud de onda
Una onda sonora en el aire (20°C) tiene una frecuencia de 440 Hz. Encuentra su longitud de onda.
λ = v/f = 343/440 ≈ 0,780m (78 cm - nota de concierto A).
Ejemplo 2: Velocidad de onda en una cuerda
Una cuerda de guitarra tiene una tensión de 80 N y una densidad lineal de 5 × 10⁻³ kg/m. Encuentra la velocidad de la onda.
v = √(T/μ) = √(80 / 5×10⁻³) = √16,000 ≈ 126 m/s.
Ejemplo 3: Frecuencia a partir de la velocidad y la longitud de onda
Una onda de agua tiene una longitud de onda de 2 m y viaja a 3 m/s. Encuentra su frecuencia y período.
f = v/λ = 3/2 = 1,5 Hz. T = 1/f = 1/1,5 ≈ 0,67 s.
Dispersión
Una onda es no dispersivo si todas las frecuencias viajan a la misma velocidad (por ejemplo, el sonido en el aire, la luz en el vacío). Es dispersivo si la velocidad depende de la frecuencia. En los medios dispersivos, un paquete de ondas (superposición de diferentes frecuencias) se propaga en el tiempo.
El velocidad de fase v_p = ω/k describe sinusoides individuales. El velocidad del grupo v_g = dω/dk describe la velocidad de la energía y la información. Para medios no dispersivos, v_p = v_g. En los medios dispersivos difieren: un prisma de vidrio separa la luz blanca en colores porque diferentes longitudes de onda viajan a diferentes velocidades.
Errores comunes
- Período y longitud de onda confusos. El período T es un tiempo (segundos); La longitud de onda λ es una longitud (metros). f = 1/T pero λ ≠ 1/f — λ = v/f.
- Suponiendo que la frecuencia cambia cuando una onda ingresa a un nuevo medio. La frecuencia la establece la fuente y no cambia en un límite. Cambio de velocidad y longitud de onda; la frecuencia no.
- Mezclando fase y velocidad de grupo. La velocidad de fase puede exceder c en medios dispersivos; esto no viola la relatividad especial porque la información viaja a velocidad de grupo.
Velocidad del sonido: dependencia de la temperatura
Para un gas ideal, la velocidad del sonido es v = √(γP/ρ) = √(γRT/M), donde γ es el índice adiabático, R es la constante del gas, T es la temperatura absoluta y M es la masa molar. Para aire seco a temperatura T (kelvin): v ≈ 331√(T/273) m/s, o equivalentemente v ≈ 331 + 0,6θ m/s donde θ es la temperatura en °C. A 20°C: v ≈ 343 m/s; a 100°C: v ≈ 387 m/s.
La humedad también aumenta ligeramente la velocidad del sonido en el aire porque el vapor de agua (M = 18 g/mol) es más ligero que el aire seco (M ≈ 29 g/mol), lo que reduce la masa molar efectiva.
Velocidad de onda e índice de refracción
Cuando la luz cruza un límite entre medios con diferentes índices de refracción n₁ y n₂, la velocidad cambia de c/n₁ a c/n₂ pero la frecuencia permanece constante. La ley de Snell n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ se deriva del requisito de que los frentes de onda coincidan en el límite. La reflexión interna total ocurre cuando n₁ sen θ₁ = n₂ requiere sen θ₂ > 1, lo cual no tiene una solución real, por lo que no existe ninguna onda transmitida. Las fibras ópticas aprovechan la reflexión interna total, atrapando la luz dentro de un núcleo de alto índice para transmitir señales con pérdidas mínimas a lo largo de miles de kilómetros.
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Preguntas frecuentes
¿Fórmula de velocidad de onda?
v = fλ. La velocidad de la onda es igual a la frecuencia por la longitud de onda. Esto se aplica al sonido, la luz, el agua y todos los demás tipos de ondas.
¿Qué determina la velocidad de las olas?
El medio, no la fuente. Sonido en el aire: ~343 m/s. Luz en el vacío: 3×10⁸ m/s. Estos no cambian con la frecuencia o la amplitud.
¿Cambia la frecuencia cuando una onda entra en un nuevo medio?
No. La frecuencia la establece la fuente. Tanto la velocidad como la longitud de onda cambian en un límite; la frecuencia sigue siendo la misma.
¿Qué es la dispersión?
La velocidad varía con la frecuencia en el medio. La luz blanca se dispersa en el vidrio porque diferentes longitudes de onda viajan a diferentes velocidades, produciendo un espectro.
Referencias
- Francés, AP (1971). Vibraciones y Ondas. Serie de introducción a la física del MIT. Capítulo 5.
- Griffiths, DJ (2017). Introducción a la electrodinámica (4ª ed.). Cambridge. Capítulo 9.
- Kinsler, L. E., Frey, A. R., Coppens, A. B. y Sanders, J. V. (2000). Fundamentos de Acústica (4ª ed.). Wiley.