Movimiento armónico simple

Definición y Condiciones

Una partícula sufre movimiento armónico simple (MAS) cuando experimenta una fuerza restauradora proporcional a su desplazamiento del equilibrio y dirigida hacia él:

F = −kx

donde k es una constante positiva (la constante del resorte, en N/m) y x es el desplazamiento. El signo negativo asegura que la fuerza siempre se opone al desplazamiento, creando oscilación. SHM es isócrono: el período es independiente de la amplitud (para desplazamientos pequeños).

Ecuaciones de movimiento

La segunda ley de Newton F = ma con F = −kx da la ecuación diferencial: mẍ + kx = 0, o equivalentemente ẍ + ω²x = 0, donde ω = √(k/m) es la frecuencia angular (rad/s).

La solución general es:

• x(t) = A cos(ωt + φ) — desplazamiento
• v(t) = −Aω sin(ωt + φ) — velocidad
• a(t) = −Aω² cos(ωt + φ) — aceleración

donde A es la amplitud y φ es la fase inicial. El período T = 2π/ω y la frecuencia f = 1/T = ω/2π.

Tabla de variables

Energía en MAS

La energía mecánica total en MAS se conserva: mi = ½kA² = constante. En cualquier desplazamiento x:

• Energía potencial: PE = ½kx²
• Energía cinética: KE = ½k(A² − x²) = ½mv²
• Total: E = KE + PE = ½kA²

La velocidad máxima se produce en x = 0: v_max = Aω. La aceleración máxima se produce en x = ±A: a_max = Aω².

Sistemas MAS comunes

Sistema de masa-resorte

Para una masa m sobre un resorte de constante k: ω = √(k/m) y T = 2π√(m/k). Esto se aplica tanto a configuraciones horizontales como verticales (la gravedad solo cambia la posición de equilibrio, no cambia el período).

Péndulo simple

Para ángulos pequeños (θ ≪ 1 radianes), la fuerza restauradora es mg sen θ ≈ mgθ, lo que da MAS con ω = √(g/L) y T = 2π√(L/g). El período es independiente de la masa y la amplitud. Para ángulos más grandes, el período aumenta: una oscilación de 15° es aproximadamente un 0,5 % más larga de lo previsto por SHM.

Péndulo físico

Un objeto extendido que gira alrededor de un eje fijo: T = 2π√(I/mgd), donde I es el momento de inercia alrededor del pivote y d es la distancia desde el pivote al centro de masa.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Período masa-resorte

Una masa de 0,4 kg está unida a un resorte con k = 100 N/m. Encuentre el período y la velocidad máxima cuando la amplitud A = 0,05 m.

Solución: ω = √(100/0,4) = √250 ≈ 15,81 rad/s. T = 2π/ω = 2π/15,81 ≈ 0,397 s. v_max = Aω = 0,05 × 15,81 ≈ 0,79 m/s.

Ejemplo 2: Longitud del péndulo a partir del período

Un péndulo en la Tierra tiene un período de 2,0 s. Encuentra su longitud.

Solución: T = 2π√(L/g) → L = g(T/2π)² = 9,81 × (2/2π)² = 9,81 × (1/π)² ≈ 0,993m (el "péndulo de segundos").

Ejemplo 3: Energía en MAS

Una masa de 0,2 kg sobre un resorte (k = 50 N/m) oscila con una amplitud de 0,1 m. Encuentre la velocidad en x = 0,06 m.

Solución: E = ½kA² = ½(50)(0,01) = 0,25 J. PE en x = 0,06: ½(50)(0,0036) = 0,09 J. KE = 0,25 − 0,09 = 0,16 J. v = √(2KE/m) = √(0,32/0,2) = √1,6 ≈ 1,26 m/s.

Errores comunes

• Usar la fórmula del ángulo pequeño fuera de su rango. T = 2π√(L/g) se aplica para θ ≲ 15°. Para amplitudes mayores, utilice la fórmula integral elíptica completa.
• Periodo y frecuencia confusos. f = 1/T y ω = 2πf. Estos no son intercambiables.
• Ignorando el factor ½ en expresiones de energía. mi = ½kA² ≠ kA².
• Olvidando que un resorte vertical todavía da T = 2π√(m/k). La gravedad desplaza el equilibrio pero no cambia el período porque la fuerza restauradora neta todavía obedece a F = −kx medida desde el nuevo equilibrio.

Aplicaciones

• Hora normal: Los relojes de péndulo, los osciladores de cuarzo y los relojes atómicos se basan en oscilaciones periódicas muy estables.
• Sismología: Los sismógrafos utilizan sistemas de masas suspendidas sensibles a las vibraciones de la tierra.
• Instrumentos musicales: Cuerdas, columnas de aire y membranas vibran en MAS para producir sonido.
• Ingeniería: Aislamiento de vibraciones, diseño de suspensiones y prevención de resonancias en puentes y edificios.
• Física atómica: Las vibraciones moleculares modeladas como osciladores armónicos acoplados determinan los espectros infrarrojos.

Oscilaciones amortiguadas y forzadas

Los osciladores reales pierden energía con el tiempo; esto se llama oscilación amortiguada. La fuerza de amortiguación suele ser proporcional a la velocidad: F_damp = −bv, lo que da la ecuación mẍ + bẋ + kx = 0. Dependiendo de la constante de amortiguación b en relación con el valor crítico b_c = 2√(km):

• Subamortiguado (b < b_c): las oscilaciones decaen exponencialmente - x(t) = Ae^(−γt) cos(ω′t + φ), donde γ = b/2m
• Amortiguado críticamente (b = b_c): vuelve al equilibrio más rápido sin oscilar
• Sobreamortiguado (b > b_c): lento retorno exponencial al equilibrio

Oscilaciones forzadas Ocurre cuando una fuerza externa periódica impulsa el sistema. Cuando la frecuencia de conducción coincide con la frecuencia natural ω₀ = √(k/m), resonancia ocurre y la amplitud crece dramáticamente. Los ingenieros deben evitar la resonancia en puentes, edificios y estructuras de aviones; el colapso del puente Tacoma Narrows (1940) es el clásico ejemplo de advertencia.

Temas relacionados

Preguntas frecuentes

Referencias

1. Halliday, D., Resnick, R. y Krane, KS (2001). Física (5ª ed.). Wiley. Capítulo 15.
2. Francés, AP (1971). Vibraciones y Ondas. Serie de introducción a la física del MIT. Capítulo 1–3.
3. Crawford, FS (1968). Olas. Curso de Física de Berkeley vol. 3. McGraw-Hill. Capítulo 1.
4. Kiran T. Bhansali. (2019). "El péndulo simple". Revista Estadounidense de Física, 87(2), 144–146.