Velocidad orbital

Derivación

Para una órbita circular de radio r alrededor de un cuerpo de masa M, la gravedad proporciona la fuerza centrípeta:

GMm/r² = mv²/r

La masa del satélite m se cancela, dando:

v_orb = √(GM/r)

Órbitas más altas → r más grande → velocidad orbital más lenta. La ISS a 400 km de altitud se mueve a ~7,66 km/s; Los satélites geoestacionarios a 35.786 km de altitud se mueven a sólo ~3,07 km/s.

Fórmula y variables

Tercera ley de Kepler

El período orbital T = 2πr/v_orb = 2πr/√(GM/r) = 2π√(r³/GM). Cuadratura:

T² = (4π²/GM) × r³

Esta es la tercera ley de Kepler: el cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor. Para dos cuerpos cualesquiera que orbiten alrededor de la misma masa central: T₁²/r₁³ = T₂²/r₂³.

Tipos de órbitas clave

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: velocidad orbital de la ISS

Altitud de la ISS: h = 408 km. Radio de la Tierra: R = 6.371 km. Entonces r = 6,371 + 408 = 6,779 km = 6,779 × 10⁶ m.

v = √(GM/r) = √(6,674 × 10⁻¹¹ × 5,972 × 10²⁴ / 6,779 × 10⁶) = √(5,879 × 10⁷) ≈ 7.667 m/s ≈ 7,67 km/s ✓

Ejemplo 2: Radio geoestacionario

Para T = 24 h = 86.400 s: r³ = GM·T²/(4π²) = (6,674 × 10⁻¹¹ × 5,972 × 10²⁴ × 86400²)/(4π²). r = ∛(7,54 × 10²²) ≈ 42.241 kilómetros desde el centro de la Tierra, altitud ≈ 35.870 km ✓

Velocidad orbital versus velocidad de escape

En el mismo radio: v_orb = √(GM/r) y v_esc = √(2GM/r) = √2 × v_orb.

La velocidad de escape es siempre √2 ≈ 1,41 veces la velocidad orbital circular. Agregar ~41% más de velocidad en un radio orbital determinado convierte una órbita circular en una trayectoria de escape.

Errores comunes

• Usando altitud en lugar de radio. r en la fórmula se mide desde el centro del planeta, no desde su superficie. Suma siempre el radio del planeta.
• El período de olvido aumenta con la altitud. Las órbitas más altas son más lentas Y tienen circunferencias más largas; los períodos aumentan rápidamente: T ∝ r^(3/2).
• Velocidad orbital y de escape confusa. La velocidad orbital te mantiene en órbita. La velocidad de escape te saca. Escape = √2 × orbital en el mismo punto.

Energía en órbitas circulares

Un satélite en órbita circular tiene energía mecánica total E = KE + PE = ½mv² − GMm/r. Dado que v² = GM/r, KE = ½mv² = GMm/2r y PE = −GMm/r. Por lo tanto:

E = GMm/2r − GMm/r = −GMm/2r

La energía total es negativa (órbita ligada) y es igual a −KE. Para elevar un satélite a una órbita más alta, debes agregar energía (hacer que E sea menos negativo). Paradójicamente, el satélite acaba moviéndose más lentamente: gana energía potencial más rápido de lo que pierde energía cinética.

Órbitas de transferencia de Hohmann

La forma más eficiente en combustible de moverse entre dos órbitas circulares es el transferencia de hohmann — una órbita elíptica tangente a ambos círculos. Se necesitan dos quemaduras: la primera eleva el apogeo a la órbita objetivo; el segundo circula hacia el objetivo. Para una transferencia de la órbita r₁ a r₂:

• ΔV₁ = √(GM/r₁) × (√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1)
• ΔV₂ = √(GM/r₂) × (1 − √(2r₁/(r₁+r₂)))

Las transferencias de Hohmann se utilizan prácticamente en todas las misiones interplanetarias, desde los exploradores de Marte hasta el telescopio espacial James Webb.

Mecánica Orbital y Relatividad Especial

A bajas altitudes, la mecánica orbital newtoniana es precisa. Sin embargo, la relatividad general predice la precesión de las elipses orbitales: los famosos 43 segundos de arco por siglo de Mercurio que no pueden explicarse de forma clásica. Los satélites GPS también requieren correcciones relativistas especiales (dilatación del tiempo a partir de la velocidad) y relativistas generales (dilatación del tiempo gravitacional) para mantener una precisión de sincronización de nivel de nanosegundos.

Temas relacionados

Perturbaciones y órbitas reales

En la práctica, las órbitas se desvían de las trayectorias keplerianas ideales debido a perturbaciones. Para los satélites en órbita terrestre baja, las perturbaciones dominantes son: el achatamiento de la Tierra (término J₂), que provoca la precesión nodal; resistencia atmosférica, que reduce lentamente la altitud orbital; y la gravedad lunar y solar. Los planificadores de misiones deben tener en cuenta todos estos factores al diseñar maniobras orbitales.

La resistencia atmosférica en órbita baja hace que las órbitas decaigan gradualmente. Contraintuitivamente, un satélite que experimenta arrastre acelera a medida que gira en espiral hacia adentro, perdiendo energía potencial más rápido de lo que aumenta la energía cinética. La ISS requiere maniobras de reactivación cada pocas semanas o meses para mantener la altitud contra la resistencia.

En altitudes geoestacionarias, la principal perturbación es la desviación de la inclinación debido a la gravedad lunar y solar. Corregir esto consume propulsor de mantenimiento de la posición, que a menudo es el factor que limita la vida útil de los satélites GEO.

Ecuación de Vis-Viva

Para cualquier órbita de sección cónica (circular, elíptica, parabólica, hiperbólica), la velocidad en cualquier punto viene dada por la ecuación de vis-viva: v² = GM(2/r − 1/a), donde r es la distancia actual desde el cuerpo central y a es el semieje mayor. Para una órbita circular (r = a): v² = GM/r - recuperando la velocidad orbital circular. Para una trayectoria parabólica (escape) (a → ∞): v² = 2GM/r - recuperación de la velocidad de escape.

Preguntas frecuentes

Referencias

1. Halliday, D., Resnick, R. y Krane, KS (2001). Física (5ª ed.). Wiley. Capítulo 13.
2. Bate, RR, Mueller, DD y White, JE (1971). Fundamentos de Astrodinámica. Publicaciones de Dover.
3. Vallado, D. A. (2013). Fundamentos de Astrodinámica y Aplicaciones (4ª ed.). Prensa Microcosmos.