Velocidad de escape

Definición

El velocidad de escape (más precisamente, velocidad de escape) es la velocidad mínima que debe tener un objeto en la superficie de un cuerpo para escapar por completo del campo gravitacional del cuerpo, suponiendo que no haya más propulsión e ignorando la resistencia del aire.

Un objeto lanzado exactamente a la velocidad de escape disminuirá la velocidad continuamente pero nunca se detendrá del todo: sigue una trayectoria parabólica y alcanza el infinito con energía cinética cero. Por debajo de la velocidad de escape, el objeto retrocede. Por encima de la velocidad de escape, escapa en una trayectoria hiperbólica con energía cinética permaneciendo en el infinito.

Derivación de la conservación de energía

Establezca la energía mecánica total en el lanzamiento igual a cero (el objeto apenas escapa al infinito con velocidad cero):

KE + PE = 0 → ½mv² + (−GMm/r) = 0

La masa m del proyectil anula:

½v² = GM/r → v² = 2GM/r

v_e = √(2GM/r)

Fórmula y variables

Velocidades de escape en el Sistema Solar

La velocidad de escape de un agujero negro en el horizonte de sucesos o dentro de él es igual o superior a c (la velocidad de la luz), razón por la cual nada puede escapar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: la superficie de la Tierra

Verifique la velocidad de escape de la Tierra. Utilice M = 5,972 × 10²⁴ kg, r = 6,371 × 10⁶ m, G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².

v_e = √(2GM/r) = √(2 × 6,674 × 10⁻¹¹ × 5,972 × 10²⁴ / 6,371 × 10⁶)

= √(2 × 6.674 × 5.972 / 6.371 × 10⁻¹¹⁺²⁴⁻⁶) = √(1.253 × 10⁸) ≈ 11.186 m/s ≈ 11,2 km/s ✓

Ejemplo 2: Escape de la Luna

M_Luna = 7,342 × 10²² kg, r_Luna = 1,737 × 10⁶ m.

v_e = √(2 × 6,674 × 10⁻¹¹ × 7,342 × 10²² / 1,737 × 10⁶) = √(5,639 × 10⁶) ≈ 2.375 m/s ≈ 2,38 km/s

Por eso el módulo lunar Apolo podría regresar de la Luna con un motor relativamente modesto.

Errores comunes

• Confundir velocidad de escape con velocidad orbital. La velocidad orbital en la superficie es v_orb = √(GM/r) = v_e/√2. La velocidad de escape es √2 ≈ 1,41 veces mayor que la velocidad orbital circular a la misma altitud.
• Olvidando que la velocidad de escape disminuye con la altitud. v_e = √(2GM/r) — mayor r significa menor v_e. Al doble del radio de la Tierra, la velocidad de escape es 1/√2 ≈ 0,71 del valor de la superficie.
• Suponiendo que depende de la masa del proyectil. La m se cancela en la derivación: todos los objetos tienen la misma velocidad de escape desde el mismo punto, independientemente de su masa.

Aplicaciones

• Diseño de la misión espacial: Cada vehículo de lanzamiento debe proporcionar suficiente ΔV para la trayectoria de la misión. Escapar de la Tierra requiere 11,2 km/s más pérdidas a la atmósfera y a la gravedad.
• Retención de la atmósfera planetaria: Las moléculas más ligeras (H₂, He) tienen velocidades térmicas más altas y pueden exceder la velocidad de escape, lo que explica por qué la Tierra tiene poco hidrógeno en su atmósfera.
• Horizonte de sucesos del agujero negro: En el radio de Schwarzschild, v_e = c. Aquí es donde se forma el horizonte de sucesos.
• Tirachinas gravitacional: Las naves espaciales utilizan la gravedad planetaria para ganar velocidad, explotando eficazmente la velocidad de escape del planeta.

Conexión con el radio de Schwarzschild

Al establecer la velocidad de escape igual a la velocidad de la luz y resolver el radio se obtiene el radio de Schwarzschild: v_e = c → c² = 2GM/r_s → r_s = 2GM/c². Este es el radio del horizonte de sucesos de un agujero negro. Para la Tierra: r_s ≈ 9 mm. Para el Sol: r_s ≈ 3 km. El radio de Schwarzschild no es una superficie física: es el límite del que es imposible escapar.

Cohetes de múltiples etapas y la ecuación de Tsiolkovsky

Dado que la resistencia del aire y las pérdidas por gravedad se suman al ΔV requerido, los cohetes reales necesitan más de 11,2 km/s de ΔV propulsor para alcanzar la órbita. La ecuación del cohete Tsiolkovsky da el cambio de velocidad alcanzable: Δv = v_e ln(m_i/m_f), donde v_e es la velocidad de escape y m_i/m_f es la relación de masas. La puesta en escena (deshacerse de los tanques vacíos) es esencial porque reduce la masa que el motor debe seguir acelerando. El Saturno V logró escapar de la Tierra en tres etapas, cada una de las cuales proporcionó ΔV sucesivas.

Escape atmosférico y ciencia planetaria

Un planeta retiene una atmósfera sólo si las velocidades térmicas de sus moléculas atmosféricas están muy por debajo de la velocidad de escape. Para una molécula de masa m a temperatura T, la velocidad típica es v_rms = √(3k_BT/m). Si v_rms ≳ 0,2 × v_escape, esa especie de gas escapará gradualmente. Esto explica por qué la Luna (v_e = 2,38 km/s) no tiene una atmósfera significativa, por qué Marte ha perdido gran parte de su atmósfera a lo largo de miles de millones de años y por qué la Tierra retiene N₂ y O₂ pero pierde H₂ y He.

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Preguntas frecuentes

Referencias

1. Halliday, D., Resnick, R. y Krane, KS (2001). Física (5ª ed.). Wiley. Capítulo 13.
2. Bate, RR, Mueller, DD y White, JE (1971). Fundamentos de Astrodinámica. Publicaciones de Dover. Capítulo 1.
3. Carroll, BW y Ostlie, DA (2017). Una introducción a la astrofísica moderna (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. Capítulo 2.