Physik, gespielt mit.

Hinweise zur Physik

Projektilbewegung. Wenn der Widerstand auf Null eingestellt ist, ist die Flugbahn eine Parabel wie aus dem Lehrbuch; Wenn Sie den Widerstand nach oben drehen, wird er nach vorne gebogen und die Reichweite verkürzt. Der optimale Startwinkel liegt unter 45°, sobald der Luftwiderstand ungleich Null ist. Der Integrator ist explizit Euler mit dt = 0,01 s, ausreichend für die Visualisierung, aber nicht für hochpräzise Arbeiten.

Zweikörperumlaufbahn. Die Schwerkraft verwendet G = 6,674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Die Tangentialgeschwindigkeitsskala von 1,0 versetzt den Körper auf eine kreisförmige Umlaufbahn mit dem gewählten Radius; Werte unter 1 erzeugen an den Ursprung gebundene Ellipsen, über ~√2 erzeugen hyperbolische Fluchten.

Zweispaltinterferenz. Die Intensität beträgt |cos(φ/2)|² mit φ = 2π d sinθ/λ. Wellenlänge zu RGB verwendet die standardmäßige stückweise Zuordnung von 380–780 nm. Die Auslesung des Streifenabstands verwendet die Kleinwinkelnäherung y = λL/d.

Planck-Spektrum. Die Auslesung der Spitzenwellenlänge erfolgt nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz λ_Spitze = b/T mit b = 2,898 × ​​10⁻³ m·K. Die gesamte Strahlungsleistung pro Flächeneinheit beträgt σT⁴ mit σ = 5,67 × 10⁻⁸ W/(m²·K⁴).

Lorentz-Boost. Der Lichtkegel ist fest (45°-Linien). Die verstärkte x'-Achse neigt sich mit der Steigung β nach oben; Die t'-Achse neigt sich mit der Steigung 1/β zum Kegel hin.

Nichtlineares Pendel. Vier Unterschritte pro Animationsbild halten die Energie über einige Schwingungen hinweg nahezu physikalisch. Die korrigierte Periode verwendet den ersten nichtlinearen Term, T ≈ T₀(1 + θ₀²/16); bei 90° liegt die wahre Periode etwa 18 % über dem Kleinwinkel T₀.

Einfache harmonische Bewegung. Die Masse gehorcht m ẍ = −kx − b ẋ, integriert in jedem Rahmen. Die beiden Balken zeigen den zweimaligen Austausch von kinetischer und potentieller Energie pro Zyklus; bei Dämpfung b > 0 zerfällt die Summe. Die Winkelfrequenz beträgt ω = √(k/m), unabhängig von der Amplitude – das bestimmende Merkmal von SHM.

Wellenüberlagerung. Zwei Sinuskurven werden Punkt für Punkt summiert. Setzen Sie die Geschwindigkeit der zweiten Welle auf −1 (gleich und entgegengesetzt) ​​und die Summe wird zu einer stehenden Welle mit festen Knoten; Jeder andere Wert erzeugt ein Wanderschlagmuster. Dies ist das Prinzip stehender Wellen auf Saiten und in Resonanzräumen.

Doppler-Effekt. Die Quelle sendet kreisförmige Wellenfronten aus, die sich alle mit der Wellengeschwindigkeit ausdehnen. Wenn sich die Quelle bewegt, bündeln sich die Wellenfronten nach vorne (höhere Frequenz, Blauverschiebung) und breiten sich nach hinten aus (Rotverschiebung). Wenn die Quelle ihren eigenen Wellen entkommt, häufen sich die Fronten zu einem Mach-Kegel – der Schockwelle hinter einem Überschallknall.

Elektrische Feldlinien. Linien werden durch schrittweises Vorgehen entlang der lokalen Feldrichtung E = Σ kqᵣ̂/r² verfolgt, beginnend mit Ringen um jede Ladung. Gegensätzliche Ladungen (ein Dipol) verbinden sich; als würden sich Ladungen abstoßen und die Linien weichen ab. Die Liniendichte gibt die Feldstärke an und die Anzahl der Linien hängt von der Ladungsgröße ab.

Kinetische Theorie. Harte, elastische Scheiben prallen von den Wänden ab. Die Durchschnittsgeschwindigkeit skaliert mit √T, sodass eine Erhöhung der Temperatur die Partikel beschleunigt; Die Wandkollisionsrate steht stellvertretend für den Druck und veranschaulicht PV = NkT qualitativ. Die Partikelfarbe kodiert die Geschwindigkeit (rot schnell, blau langsam).

Quantenteilchen in einer Box. Die stationären Zustände eines unendlichen quadratischen Brunnens sind ψₙ = √(2/L) sin(nπx/L) mit Energien Eₙ ∝ n². Das Diagramm zeigt entweder die Wellenfunktion ψ oder die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ|²; Zustand n hat n−1 innere Knoten und der Energieabstand wächst quadratisch – der Ursprung quantisierter Energieniveaus.

Mehr Mechanik

Schiefe Ebene, Atwood, Steilkurve. Dies sind die klassischen Aufbauten nach dem zweiten Newtonschen Gesetz. Ein Block am Hang beschleunigt bei a = g(sinθ − μcosθ) und bewegt sich erst, wenn θ den Reibungswinkel arctan(μ) überschreitet. Die Atwood-Maschine löst das Zwei-Massen-System in a = (m₂−m₁)g/(m₁+m₂) mit durchgehend einer Saitenspannung auf. Ein Auto auf einer reibungslosen Steilkurve benötigt tanθ = v²/(rg) – das gleiche Gleichgewicht, das einen Satelliten im Orbit hält, geschrieben für eine Rampe.

Kollisionen und Dynamik. Bei jeder Kollision bleibt der Gesamtimpuls erhalten; Ob auch die kinetische Energie erhalten bleibt, wird durch den Restitutionskoeffizienten e (1 = elastisch, 0 = vollkommen unelastisch) bestimmt. Die 2D-Demo zeigt ein besonderes Ergebnis: Zwei gleiche Massen trennen sich bei einem schrägen elastischen Stoß immer im 90°-Winkel. Newtons Wiege ist die Kettenkollisionsgrenze, bei der ein Ball nach innen einen Ball nach außen schickt, weil sich Impuls und Energie gleichzeitig ausgleichen müssen.

Schwankungen und Chaos. Die Demo mit gekoppelten Oszillatoren unterteilt die Bewegung in zwei normale Modi (gleichphasig und phasenverschoben); Energieschläge zwischen den Massen bei der Differenz der Modenfrequenzen. Die angetriebene Resonanzkurve erreicht ihren Höhepunkt nahe der Eigenfrequenz ω₀ mit einer Schärfe, die durch den Qualitätsfaktor Q ≈ ω₀/γ gemessen wird. Für das Doppelpendel gibt es keine geschlossene Lösung – ein Paradebeispiel für deterministisches Chaos, bei dem winzige Änderungen am Anfang exponentiell zunehmen.

Wellen & Optik

Stehende Wellen, Schläge und Pulse. Eine an beiden Enden befestigte Saite unterstützt nur Wellenlängen λₙ = 2L/n, die Harmonischen. Zwei Wellen nahezu gleicher Frequenz interferieren in Schwebungen, deren Hüllkurve bei |f₁ − f₂| pulsiert. Ein von einem festen Ende reflektierter Impuls wird invertiert (eine π-Phasenverschiebung), während ein freies Ende aufrecht reflektiert wird – die Randbedingung bestimmt das Vorzeichen.

Brechung, Linsen, Beugung, Polarisation. Das Snelliussche Gesetz n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂ beugt Licht an einer Grenzfläche und führt jenseits des kritischen Winkels zu einer Totalreflexion (die Grundlage optischer Fasern). Die Gleichung für dünne Linsen 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ lokalisiert Bilder. Bei der Einspaltbeugung entsteht der erste dunkle Streifen bei sinθ = λ/a, sodass ein schmalerer Spalt das Licht stärker streut. Das Malussche Gesetz I = I₀cos²θ legt fest, wie viel Licht ein Polarisator durchlässt. Die Fourier-Demo baut eine Rechteckwelle aus ungeraden Harmonischen auf und zeigt die Synthese und das hartnäckige Gibbs-Überschwingen.

Thermodynamik und statistische Physik

Von Molekülen zu Gesetzen. Die Maxwell-Boltzmann-Kurve gibt die Streuung der molekularen Geschwindigkeiten an; seine wahrscheinlichste Geschwindigkeit skaliert als √(T/m). Die Brownsche Bewegung – die zufällige Bewegung eines großen Teilchens, das von Molekülen gestoßen wird – weist eine mittlere quadratische Verschiebung auf, die linear mit der Zeit zunimmt (Einsteins Beweis von 1905, dass Atome real sind). Die Wärmediffusion folgt ∂T/∂t = α∂²T/∂x² und glättet immer einen Hot Spot in Richtung Gleichmäßigkeit – eine sichtbare Seite des zweiten Hauptsatzes. Der Carnot-PV-Zyklus legt die Obergrenze für den Motorwirkungsgrad fest, η = 1 − T₋/Tₐ, und die Kolbendemonstration macht Boyles Gesetz PV = NkT greifbar, wenn Partikel auf eine sich bewegende Wand treffen.

Elektromagnetismus

Felder, Kräfte und Kreisläufe. Eine Ladung in einem Magnetfeld fühlt sich F = qv×B an und krümmt sich zu einem Kreis mit dem Radius r = mv/(qB) – das Prinzip von Zyklotronen und Massenspektrometern. Durchqueren Sie ein elektrisches und magnetisches Feld und nur eine Geschwindigkeit, v = E/B, passiert unabgelenkt (ein Geschwindigkeitswähler). RC-Glieder laden sich mit der Zeitkonstante τ = RC (63 % nach einem τ); LC-Schaltkreise schwingen mit f = 1/(2π√LC), wenn Energie zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem Magnetfeld der Induktivität ausgetauscht wird. Das Faradaysche Gesetz, EMF = −dΦ/dt, bedeutet nur a ändern Der Fluss treibt einen Strom an. Es entsteht eine elektromagnetische Welle: E und B schwingen gleichphasig, senkrecht zueinander und zur Fahrtrichtung, mit der Geschwindigkeit c = λf.

Moderne Physik, Quantentheorie und Relativitätstheorie

Quanten. Der photoelektrische Effekt (KE_max = hf − φ) zeigt, dass Licht in diskreten Paketen ankommt: Unterhalb einer Schwellenfrequenz entkommen keine Elektronen, egal wie hell die Quelle ist – die Beobachtung, die Einstein den Nobelpreis einbrachte. Die Bohr-Niveaus Eₙ = −13,6/n² eV legen die Photonenenergien der Atomspektren fest. Beim Quantentunneln kann ein Teilchen eine Barriere überwinden, die höher als seine Energie ist, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit, die exponentiell mit der Breite abnimmt – hinter dem Alpha-Zerfall und dem Rastertunnelmikroskop. Ein Wellenpaket veranschaulicht das Unschärfeprinzip: Die Lokalisierung eines Teilchens verteilt seinen Impuls, sodass sich das Paket zerstreut. Der radioaktive Zerfall folgt N = N₀(½)^(t/t½): Jedes Atom zerfällt zufällig, die Halbwertszeit ist jedoch festgelegt.

Relativität. Die Lichtuhr-Demo zeigt die Zeitdilatation direkt – eine Uhr, die sich mit der Geschwindigkeit βc bewegt, tickt um γ = 1/√(1−β²) langsamer. Geschwindigkeiten kombinieren sich relativistisch zu w = (u+v)/(1+uv/c²) und überschreiten niemals c, selbst wenn die naive Summe dies tun würde. Die De-Broglie-Beziehung λ = h/p verbindet das Labor, gibt jedem Teilchen eine Wellenlänge und erklärt, warum Alltagsgegenstände klassisch aussehen: Ihr λ ist unvorstellbar klein.

Astrophysik & Chaos

Schwerkraft und Nichtlinearität. Für die Dreikörpersimulation gibt es keine allgemeine analytische Lösung – kleine Unterschiede explodieren, der Keim der Chaostheorie. Das zweite Keplersche Gesetz (gleiche Flächen in gleichen Zeiten) ergibt sich aus der Drehimpulserhaltung, sodass ein Planet durch das Perihel rast und im Aphel herumtrödelt. Die logistische Karte xₙ₊₁ = rxₙ(1−xₙ) komprimiert den gesamten Weg von der Ordnung zum Chaos durch Periodenverdoppelung mit zunehmendem r, während der Lorenz-Attraktor – ein abgespecktes Wettermodell – einen Pfad zeichnet, der sich nie wiederholt, aber begrenzt bleibt: der ursprüngliche „Schmetterlingseffekt“.

Eine Anmerkung zur Methode. Jede Simulation integriert die Bewegungsgleichungen live mit einfachen expliziten Schemata (Euler oder unterschrittenes Euler), die aus Gründen der Klarheit und nicht der numerischen Präzision ausgewählt wurden. Sie sind für die Intuition gebaut – um zu zeigen, wie ein System benimmt sich wenn Sie die Parameter ändern – nicht für publikationstaugliche Genauigkeit. Für genaue Zahlen nutzen Sie die verlinkten Rechner und die Formelbibliothek.

Wo jedes Widget mit der Bibliothek verknüpft ist

• Projektilbewegung → Formelbibliothek, Projektilrechner
• Zweikörperumlaufbahn → Fluchtgeschwindigkeitsrechner, Gravitationskraftrechner
• Zweispaltinterferenz → Welleninterferenzsimulator
• Schwarzkörperspektrum → Astrophysik-Zentrum, Quantenzentrum
• Lorentz-Boost → Zeitdilatationsrechner
• Pendel → Kerntheorien, Glossar
• Einfache harmonische Bewegung → SHM-Artikel, Pendelrechner
• Wellenüberlagerung → Wellengeschwindigkeit, Formeln
• Doppler-Effekt → Doppler-Erklärer, Doppler-Rechner
• Elektrisches Feld → elektrische Felder, Coulomb-Rechner
• Kinetische Theorie → Entropie, Einheitenumrechner
• Quantenbox → Teilchen in einer Box, Quantenzentrum