Wellengeschwindigkeit
v = fλ – wie Frequenz, Wellenlänge und das Medium bestimmen, wie schnell sich eine Welle ausbreitet.
Die Wellengeschwindigkeitsformel
Jede periodische Welle hat drei verwandte Größen: Geschwindigkeit v, Frequenz f und Wellenlänge λ. Sie sind verknüpft durch:
v = fλ
Die Wellenlänge λ ist der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden identischen Punkten auf der Welle (z. B. Scheitelpunkt zu Scheitelpunkt). Die Frequenz f ist die Anzahl der vollständigen Zyklen pro Sekunde (Hz). Das Produkt gibt die Entfernung an, die die Welle pro Sekunde zurücklegt.
Diese Beziehung ist kinematisch – sie gilt für alle Wellentypen, unabhängig vom physikalischen Mechanismus. Aus der Definition folgt direkt: In der Zeit T = 1/f vergeht eine Wellenlänge, also v = λ/T = λf.
Die vollständige Wellengleichung, die das räumliche und zeitliche Verhalten einer Welle regelt, lautet: ∂²y/∂t² = v² ∂²y/∂x², wobei die Lösungen die Form y = A cos(kx − ωt) mit der Wellenzahl k = 2π/λ und der Kreisfrequenz ω = 2πf annehmen. Die Geschwindigkeit v = ω/k = fλ.
Variablentabelle
| Symbol | Menge | SI-Einheit |
|---|---|---|
| v | Wellengeschwindigkeit | m/s |
| f | Häufigkeit | Hz (= s⁻¹) |
| λ | Wellenlänge | m |
| T | Zeitraum (= 1/f) | s |
| k | Wellenzahl (= 2π/λ) | rad/m |
| ω | Winkelfrequenz (= 2πf) | rad/s |
Geschwindigkeit in verschiedenen Medien
Klang in der Luft
Bei 0°C: v_sound ≈ 331 m/s. Bei 20°C: v_sound ≈ 343 m/s. Die Temperaturabhängigkeit: v ≈ 331√(T/273) m/s, wobei T in Kelvin angegeben ist. Im Wasser: ~1.480 m/s. In Stahl: ~5.960 m/s.
Querwellen auf einer Saite
v = √(T/μ), wobei T die Spannung (N) und μ die lineare Massendichte (kg/m) ist. Eine straffere, leichtere Saite trägt Wellen schneller.
Elektromagnetische Wellen
Im Vakuum: c = 299.792.458 m/s ≈ 3 × 10⁸ m/s (genau per Definition). In einem Medium mit Brechungsindex n: v = c/n. Für sichtbares Licht in Glas (n ≈ 1,5): v ≈ 2 × 10⁸ m/s.
Ausgearbeitete Beispiele
Beispiel 1 – Wellenlänge finden
Eine Schallwelle in Luft (20°C) hat eine Frequenz von 440 Hz. Finden Sie seine Wellenlänge.
λ = v/f = 343/440 ≈ 0,780 m (78 cm – Konzert-A-Note).
Beispiel 2 – Wellengeschwindigkeit auf einer Saite
Eine Gitarrensaite hat eine Spannung von 80 N und eine lineare Dichte von 5 × 10⁻³ kg/m. Finden Sie die Wellengeschwindigkeit.
v = √(T/μ) = √(80 / 5×10⁻³) = √16.000 ≈ 126 m/s.
Beispiel 3 – Frequenz aus Geschwindigkeit und Wellenlänge
Eine Wasserwelle hat eine Wellenlänge von 2 m und breitet sich mit 3 m/s aus. Finden Sie die Häufigkeit und den Zeitraum.
f = v/λ = 3/2 = 1,5 Hz. T = 1/f = 1/1,5 ≈ 0,67 s.
Streuung
Eine Welle ist nichtdispersiv wenn sich alle Frequenzen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten (z. B. Schall in Luft, Licht im Vakuum). Es ist dispersiv wenn die Geschwindigkeit von der Frequenz abhängt. In dispersiven Medien breitet sich ein Wellenpaket (Überlagerung verschiedener Frequenzen) über die Zeit aus.
Das Phasengeschwindigkeit v_p = ω/k beschreibt einzelne Sinuskurven. Das Gruppengeschwindigkeit v_g = dω/dk beschreibt die Geschwindigkeit von Energie und Information. Für nichtdispersive Medien gilt v_p = v_g. Bei dispersiven Medien unterscheiden sie sich: Ein Glasprisma zerlegt weißes Licht in Farben, da sich unterschiedliche Wellenlängen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten.
Häufige Fehler
- Verwirrender Zeitraum und Wellenlänge. Periode T ist eine Zeit (Sekunden); Wellenlänge λ ist eine Länge (Meter). f = 1/T aber λ ≠ 1/f – λ = v/f.
- Es wird davon ausgegangen, dass sich die Frequenz ändert, wenn eine Welle in ein neues Medium eintritt. Die Frequenz wird von der Quelle festgelegt und ändert sich an einer Grenze nicht. Geschwindigkeits- und Wellenlängenänderung; Frequenz nicht.
- Verwechslung von Phasen- und Gruppengeschwindigkeit. Die Phasengeschwindigkeit kann in dispersiven Medien c überschreiten – dies verstößt nicht gegen die spezielle Relativitätstheorie, da sich Informationen mit Gruppengeschwindigkeit ausbreiten.
Schallgeschwindigkeit: Temperaturabhängigkeit
Für ein ideales Gas beträgt die Schallgeschwindigkeit v = √(γP/ρ) = √(γRT/M), wobei γ der adiabatische Index, R die Gaskonstante, T die absolute Temperatur und M die Molmasse ist. Für trockene Luft bei der Temperatur T (Kelvin): v ≈ 331√(T/273) m/s, oder äquivalent v ≈ 331 + 0,6θ m/s, wobei θ die Temperatur in °C ist. Bei 20°C: v ≈ 343 m/s; bei 100°C: v ≈ 387 m/s.
Auch die Luftfeuchtigkeit erhöht die Schallgeschwindigkeit in der Luft geringfügig, da Wasserdampf (M = 18 g/mol) leichter ist als trockene Luft (M ≈ 29 g/mol), wodurch sich die effektive Molmasse verringert.
Wellengeschwindigkeit und der Brechungsindex
Wenn Licht eine Grenze zwischen Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes n₁ und n₂ überschreitet, ändert sich die Geschwindigkeit von c/n₁ zu c/n₂, aber die Frequenz bleibt konstant. Das Snelliussche Gesetz n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ folgt aus der Anforderung, dass Wellenfronten an der Grenze übereinstimmen. Totale interne Reflexion tritt auf, wenn n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ > 1 erfordert – was keine echte Lösung hat, also keine übertragene Welle existiert. Optische Fasern nutzen die Totalreflexion und fangen Licht in einem hochbrechenden Kern ein, um Signale mit minimalem Verlust über Tausende von Kilometern zu übertragen.
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Häufig gestellte Fragen
Wellengeschwindigkeitsformel?
v = fλ. Die Wellengeschwindigkeit ist gleich der Frequenz mal der Wellenlänge. Dies gilt für Schall, Licht, Wasser und alle anderen Wellenarten.
Was bestimmt die Wellengeschwindigkeit?
Das Medium, nicht die Quelle. Schall in Luft: ~343 m/s. Licht im Vakuum: 3×10⁸ m/s. Diese ändern sich weder mit der Frequenz noch mit der Amplitude.
Ändert sich die Frequenz, wenn eine Welle in ein neues Medium eintritt?
Nein. Die Frequenz wird von der Quelle festgelegt. Geschwindigkeit und Wellenlänge ändern sich beide an einer Grenze; Die Frequenz bleibt gleich.
Was ist Streuung?
Die Geschwindigkeit variiert mit der Frequenz im Medium. Weißes Licht zerstreut sich in Glas, weil sich unterschiedliche Wellenlängen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten und so ein Spektrum erzeugen.
Referenzen
- Französisch, AP (1971). Vibrationen und Wellen. MIT-Einführungsreihe in die Physik. Kapitel 5.
- Griffiths, DJ (2017). Einführung in die Elektrodynamik (4. Aufl.). Cambridge. Kapitel 9.
- Kinsler, L. E., Frey, A. R., Coppens, A. B. & Sanders, J. V. (2000). Grundlagen der Akustik (4. Aufl.). Wiley.