Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Aussage und Formel

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik ist die Aussage zur Energieerhaltung für thermodynamische Systeme:

ΔU = Q − W

wo ΔU ist die Änderung der inneren Energie des Systems, Q ist die dem System zugeführte Wärme und W ist die Arbeit, die das System an seiner Umgebung verrichtet.

Der erste Hauptsatz hat drei äquivalente Formulierungen: (1) Energie bleibt erhalten; (2) es ist unmöglich, ein Perpetuum mobile der ersten Art (eines, das Energie erzeugt) zu bauen; (3) Die innere Energie eines isolierten Systems ist konstant.

Für infinitesimale Prozesse: dU = δQ − δW, wobei die δ-Notation (ungenaue Differentiale) uns daran erinnert, dass Q und W pfadabhängig sind, während U eine Zustandsfunktion ist.

Variablentabelle

Thermodynamische Prozesse

Isothermer Prozess (T = konstant)

Für ein ideales Gas bei konstanter Temperatur bleibt die innere Energie unverändert: ΔU = 0. Daher ist Q = W – die gesamte absorbierte Wärme wird in geleistete Arbeit umgewandelt. Für ein ideales Gas: W = nRT ln(V_f/V_i).

Adiabatischer Prozess (Q = 0)

Kein Wärmeaustausch mit der Umgebung. Erster Hauptsatz: ΔU = −W. Die vom Gas verrichtete Arbeit stammt vollständig aus seiner inneren Energie: Das expandierende Gas kühlt ab; Druckgas heizt. Für ein ideales Gas: TV^(γ−1) = Konstante, wobei γ = Cp/Cv.

Isochorer Prozess (V = konstant)

Keine Volumenänderung bedeutet keine PdV-Arbeit: W = 0. Daher ist ΔU = Q – die gesamte Wärme wird in innere Energie umgewandelt. Dies ist der Vorgang in einem starren, verschlossenen Behälter.

Isobarer Prozess (P = konstant)

Bei konstantem Druck ist W = PΔV. Die Wärme bei konstantem Druck beträgt Q = nCpΔT und ΔU = nCvΔT. Die Differenz Cp − Cv = R für ein ideales Gas (Mayer-Beziehung).

Ausgearbeitete Beispiele

Beispiel 1 – Ermittlung von ΔU

Ein System absorbiert 500 J Wärme und verrichtet 200 J Arbeit an seiner Umgebung. Finden Sie ΔU.

Lösung: ΔU = Q − W = 500 − 200 = 300 J. Die innere Energie erhöht sich um 300 J.

Beispiel 2 – Adiabatische Kompression

Ein ideales Gas wird adiabatisch komprimiert. Die Umgebung leistet 800 J Arbeit am Gas. Finden Sie die Veränderung der inneren Energie.

Lösung: Q = 0. Vom Gas verrichtete Arbeit W = −800 J (Arbeit wird DARAUF verrichtet, daher ist W negativ). ΔU = Q − W = 0 − (−800) = +800 J. Das Gas erwärmt sich.

Beispiel 3 – Isotherme Expansion

Ein ideales Gas expandiert isotherm und leistet 350 J Arbeit. Wie viel Wärme hat es aufgenommen?

Lösung: Isotherm → ΔU = 0. Q = ΔU + W = 0 + 350 = 350 J aus der Umgebung absorbiert.

Häufige Fehler

• Fehler bei der Vorzeichenkonvention. Die Physik verwendet ΔU = Q − W (W = DURCH das System geleistete Arbeit). In der Technik wird häufig ΔU = Q + W (W = ON-System geleistete Arbeit) verwendet. Überprüfen Sie immer, welche Konvention Ihr Lehrbuch verwendet.
• Q und W als Zustandsfunktionen behandeln. Q und W sind pfadabhängig; nur ΔU = Q − W ist pfadunabhängig (hängt nur vom Anfangs- und Endzustand ab).
• Vergessen Sie, dass „adiabatisch“ Q = 0 bedeutet, nicht ΔT = 0. Die Temperatur kann sich in einem adiabatischen Prozess dramatisch ändern.
• Unter der Annahme einer Isotherme ist Q = 0. Isotherm bedeutet ΔT = 0, was ΔU = 0 für ein ideales Gas bedeutet, aber Q ≠ 0 – Wärme wird mit der Umgebung ausgetauscht, um eine konstante Temperatur aufrechtzuerhalten.

Anwendungen

• Wärmekraftmaschinen: Der erste Hauptsatz regelt den Energieeintrag (Wärme aus heißem Speicher) und den Energieausstoß (Arbeit plus Abwärme).
• Kühlschränke und Wärmepumpen: Der Arbeitsaufwand treibt die Wärme vom kalten in den heißen Speicher – das erste Gesetz legt den Energiehaushalt fest.
• Atmosphärenwissenschaft: Adiabatische Abfallrate – aufsteigende Luft kühlt adiabatisch ab, trockene Luft bei ~9,8 °C/km.
• Verbrennungsmotoren: Das Kraftstoff-Luft-Gemisch dehnt sich gegen einen Kolben aus und wandelt dabei innere Energie (chemische) in mechanische Arbeit um.
• Biologie: Die Zellatmung wird thermodynamisch analysiert – Energie aus Glukose erscheint als ATP-Synthese und Wärme.

Beziehung zum Nullten und Zweiten Gesetz

Der erste Hauptsatz legt fest, dass die innere Energie eine gültige Zustandsfunktion ist – sie hat in jedem thermodynamischen Zustand einen bestimmten Wert, unabhängig davon, wie dieser Zustand erreicht wurde. Das macht das erste Gesetz nicht trivial: Es besagt, dass Q und W, obwohl sie einzeln pfadabhängig sind, zusammen immer das gleiche pfadunabhängige ΔU ergeben.

Das nullte Gesetz definiert die Temperatur (Transitivität des thermischen Gleichgewichts). Der erste Hauptsatz definiert innere Energie als Erhaltungsgröße. Der zweite Hauptsatz schränkt dann die Richtung des Energieflusses ein und führt zu Entropie. Das dritte Gesetz betrifft das Verhalten der Entropie am absoluten Nullpunkt. Zusammen bilden diese vier Gesetze die vollständige Grundlage der klassischen Thermodynamik.

Für offene Systeme (Materie kann ein- oder ausströmen) wird der erste Hauptsatz um die Enthalpie H = U + PV erweitert: bei konstantem Druck ist ΔH = Q_p. Enthalpie ist das natürliche thermodynamische Potenzial chemischer Reaktionen bei konstantem Druck und kommt daher in der gesamten Chemie und Biochemie vor.

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Häufig gestellte Fragen

Referenzen

1. Callen, HB (1985). Thermodynamik und eine Einführung in die Thermostatistik (2. Aufl.). Wiley. Kapitel 1.
2. Zemansky, M. W. & Dittman, R. H. (1981). Wärme und Thermodynamik (7. Aufl.). McGraw-Hill. Kapitel 4.
3. Schroeder, DV (2000). Eine Einführung in die thermische Physik. Addison-Wesley. Kapitel 1.
4. Fermi, E. (1956). Thermodynamik. Dover-Veröffentlichungen. Kapitel 1.